河北省秦皇岛市昌黎文汇学校2023-2024学年高一上学期数学作业 (10月23日)

2023年10月23日高中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．（1）当时，求函数的最大值． （2）已知都是正数，若，求的最小值． 2．（1）已知实数，，，求的最小值； （2）已知实数，满足，，，求的最小值. 3．设，，且. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 4．求函数的最小值. 5．已知．求的最小值； 6．（1）已知，求的最大值； （2）若正实数，满足.求的最小值； 7．（1）当时，求的最小值； （2）当时，求的最大值； （3）已知(，)在时取得最小值，求的值. 8．已知，求函数的最小值； 9．已知，求函数的最大值. 10．已知x<，求y＝4x－2＋的最大值； 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）当，有最大值；（2）当时，的最小值为. 【分析】（1）配凑法解基本不等式； （2）乘“1”法解基本不等式. 【详解】由，则， 当且仅当，即时，等号成立， 故当，有最大值. （2）因为都是正数，， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以当时，的最小值为 2．（1） （2） 【分析】（1）将与相乘变为积定的形式，利用基本不等式求出最小值. （2）将中的1换为，化简后利用换元法把原式化为积定的形式，利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）因为，，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又因为，，， 此时解得，，取等号的条件成立， 因此的最小值为. （2）因为，，， 所以， 令，则 ， 当且仅当，即时取等号， 又因为，此时解得，，所以取等号的条件成立， 故的最小值为. 3．(1) (2) 【分析】（1）利用基本不等式可得出关于的不等式，即可得出的最小值； （2）由已知等式变形可得，再将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】（1）解：因为，，由基本不等式可得，可得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为. （2）解：因为，，在等式两边同时除以得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为. 4． 【分析】根据题意利用基本不等式运算求解. 【详解】因为 ， 且，则，可得， 当且仅当时，即时，函数有最小值. 5．(1)6 (2)6 【分析】（1），利用基本不等式求最小值； （2），得，，可求最大值. 【详解】（1）， ， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为6. （2），得，当且仅当，即，时等号成立， ， 故的最大值为6. 6．（1）；（2） 【分析】（1）先将函数变形，再利用基本不等式求出最值； （2）结合常数代换利用基本不等式求出最值. 【详解】（1）因为，故， ， 当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为； （2）因为为正数，，所以，，， 则， 当且仅当即，时等号成立， 所以当，时，有最小值. 15．（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用基本不等式直接求解即可； （2）对式子变形，再利用基本不等式求解即可； （3）利用基本不等式求解最小值，根据取得最值的条件建立方程即可求解. 【详解】（1）因为，所以.所以， 当且仅当，即时取最小值， 所以当时，的最小值为. （2）当时，，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以. 所以当时，的最大值为. （3）因为，，所以，， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以. 16．9 【分析】依题意将表达式变形整理，利用基本不等式即可求得结果. 【详解】由可得， 当且仅当时，即时等号成立， 故的最小值为9. 17． 【解析】根据题中条件，将函数解析式化为，再由基本不等式，即可求出最大值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立； 即函数的最大值为. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 18． 【解析】根据x<，则5－4x>0，将y＝4x－2＋，变形为y＝－＋3，再利用基本不等式求解，要注意等号成立的条件. 【详解】∵x<，∴5－4x>0， ∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立， 故当x＝1时，ymax＝1. 答案第2页，共6页 答案第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$