3.1.2椭圆的简单几何性质课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.1.2 椭圆的简单几何性质 1 一、课题导入 分母哪个大，焦点就在哪个轴上 标准方程 相 同 点 焦点位置的判断 不 同 点 图 形 焦点坐标 定 义 a、b、c 的关系 x y F1 F2 M O x y F1 F2 M O a2-c2=b2 (a>b>0) P={ M||MF1 |+|MF2|=2a（2a>2c）} 二、引导探究——椭圆的几何性质 x y 椭圆位于直线x=±a和y=±b围成的矩形框内. 1.范围： 以焦点在x轴上的椭圆为例 2.对称性： 关于x轴、y轴、原点对称 坐标轴是椭圆的对称轴 原点是椭圆的对称中心 3.顶点： 椭圆与对称轴(x,y轴)的交点 长轴:线段A1A2 长轴长:|A1A2|=2a 长半轴长:a 短轴:线段B1B2 短轴长:|B1B2|=2b 短半轴长:b a,b分别叫椭圆的长半轴长和短半轴长. 四点法画椭圆 x y 4. 椭圆的离心率： 思考：观察下图，我们发现，不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程度相同.扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？ 保持长半轴长a不变, 改变椭圆的半焦距c, 可以发现, c越接近a, 椭圆越扁平. 类似地, 保持c不变, 改变a的大小, 则a越接近c, 椭圆越扁平; 而当a, c扩大或缩小相同倍数时, 椭圆的形状不变. 这样, 利用c和a这两个量, 可以刻画椭圆的扁平程度. 2.性质： 4. 椭圆的离心率： 1.定义:我们把椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率,用 e 表示,即 (1)离心率的取值范围： 因为a > c > 0，所以0 < e < 1. ① e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁； ② e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆； ③特例：e = 0，则 a = b，则 c = 0，两个焦点重合，椭圆变成圆； ④e相等，椭圆的扁平程度相同，但大小不一定相等. (2) 离心率对椭圆形状的影响： 焦点位置 x轴 y轴 方程 图形 范围 对称性 顶点 离心率 椭圆的简单几何性质 F1 F2 M • • x y O B2 B1 A1 A2 F1 F2 M • • x y O B2 B1 A1 A2 例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 解： 三、典型例题1 由椭圆的标准方程研究其几何性质 变式练习 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标． 三、典型例题2 利用几何性质求椭圆的标准方程 （2）(2018年全卷Ⅱ)已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点.若，且，则的离心率为（ ）. A. B. C. D. D 例3.（1）已知椭圆C:=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为(　　) A.　　　　B.　　　　 C.　　　　 D. C 三、典型例题3 椭圆离心率的求法及应用 例4 动点M(x, y)与定点F(4, 0)的距离和M到定直线l : 的距离的比是常数 求动点M的轨迹. O x y M H F l • d 解： 三、典型例题4 椭圆的动点轨迹问题 补充：椭圆的第二定义：（课本117页） O x y M H F l • d l′ F′ • 平面内的动点M(x, y)到定点F(c, 0)的距离与它到定直线 的距离的比是常数 则点M的轨迹是椭圆. 其中，定点F(c,0)是椭圆的焦点； 定直线 叫做椭圆的准线； 常数 是椭圆的离心率. 二、引导探究——点与椭圆的位置关系 三、典型例题5 判断点与椭圆的位置关系 B 二、引导探究——直线与椭圆的位置关系 相离 相切 相交 方程组无解 方程组有一组解 方程组有两组解 设椭圆的方程为： 直线的方程为： 联立椭圆与直线的方程得 <0 =0 >0 转化思想方程思想 2.判断直线与椭圆的位置关系的方法 O x y F2 l • F1 • 解： 三、典型例题6 直线与椭圆的位置关系 三、典型例题7 弦长与中点弦问题 弦长公式 弦长公式 四、课堂小结 顶点 焦点 轴长与焦距 焦半径 离心率 通径 (-a,0) (a,0) (0,-b) (0,b) (-b,0) (b,0) (0,-a) (0,a) (-c,0) (c,0) (0,-c) (0,c) 长轴长2a