专题05 直线与圆锥曲线的位置关系（知识串讲+热考题型+专题训练）-【备考期中期末】2023-2024学年高二数学上学期阶段复习讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题05 直线与圆锥曲线的位置关系 （一）直线和圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程． 即消去y，得ax2＋bx＋c＝0. (1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离． (2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． （二）“弦”的问题 1.弦长公式 设斜率为k（）的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，，则＝＝. 2．处理中点弦问题常用的求解方法 (1)点差法： 即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率． (2)根与系数的关系： 即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解． 注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足． 题型一 研究圆锥曲线的几何性质 【典例1】（2023春·湖北恩施·高二校联考期中）已知椭圆，斜率为的直线与椭圆交于两点，在轴左侧，且点在轴上方，点关于坐标原点对称的点为，且，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【典例2】【多选题】（2023·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，分别为双曲线，的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，为在第一象限上的一点，点的坐标为，为的平分线，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的方程为 B．双曲线的离心率为2 C． D．点到轴的距离为 题型二：研究直线方程、圆锥曲方程 【典例4】（2023·江西景德镇·统考三模）首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天.中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌.雪飞天的助滑道可以看成一个线段和一段圆弧组成，如图所示.在适当的坐标系下圆弧所在圆的方程为，若某运动员在起跳点以倾斜角为且与圆相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（    ）    A． B． C． D． 【典例5】（2022秋·江苏连云港·高二统考期中）已知椭圆C：的左､右焦点分别为，，过的直线l交椭圆C于A，B两点.若的内切圆的半径为，则直线l的方程为 . 【典例6】（2020·天津高考真题）已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程． 题型三 弦、弦长及距离问题 【典例7】（2023·全国·高三专题练习）过椭圆的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则（       ） A． B． C． D． 【典例8】（2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）已知是椭圆的左焦点，过作直线交椭圆于两点，则的最小值为 ． 【典例9】（2019·全国·高考真题（理））已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P． （1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程； （2）若，求|AB|． 【总结提升】 1.处理中点弦问题常用的求解方法 (1)点差法： 即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率． (2)根与系数的关系： 即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解． 注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足． 2.中点坐标公式一个作用是可以利用“设而不求”技巧解题，其二是可以将未知点坐标和已