专题04 圆锥曲线方程及其几何性质（知识串讲+热考题型+专题训练）-【备考期中期末】2023-2024学年高二数学上学期阶段复习讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题04 圆锥曲线方程及其几何性质 一、椭圆的定义 1.椭圆的概念 (1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距． (2)代数式形式：集合 ①若，则集合P为椭圆； ②若，则集合P为线段； ③若，则集合P为空集． 二、椭圆的标准方程及其几何性质 条件 图形 标准方程 范围 对称性 曲线关于轴、原点对称 曲线关于轴、原点对称 顶点 长轴顶点 ,短轴顶点 长轴顶点 ,轴顶点 焦点 焦距 离心率 ，其中 通径 过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为 3、 双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内； (2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离． 四、双曲线方程及其几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长． a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 五、抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 六、抛物线方程及其几何性质 图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 顶点 O（0，0） 范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 e=1 准线方程 焦半径 题型一 椭圆的定义及其应用 【典例1】（2023秋·黑龙江大庆·高二肇州县第二中学校考开学考试）已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值为（  ） A．12， B．， C．12，8 D．9， 【典例2】（2023秋·高二单元测试）已知椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上一点，且满足，则的面积等于 ，的周长等于 ． 【总结提升】 1.应用椭圆的定义，可以得到结论： （1）椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)． (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2. 2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用. 3.椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 题型二：椭圆的标准方程 【典例3】（新疆兵团地州学校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题）“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例4】（2023秋·江苏扬州·高二统考阶段练习）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【规律方法】 求椭圆标准方程的一般方法： （1）待定系数法 （2）定义法 （3）几何性质法 （4）与椭圆共焦点的椭圆系方程为 题型三 椭圆的几何性质 【典例5】（2023秋·辽宁丹东·高二凤城市第一中学校考阶段练习）椭圆的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【典例6】（2006·山东·高考真题）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【规律方法】 1.关于椭圆几何性质的考查，主要有四类问题，一是考查椭圆中的基本量a，b，c；二是考查椭圆的离心率；三是考查离心率发最值或范围；四是其它综合应用. 2.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘： (1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为