专题07因式分解（4个知识点13种题型）-【倍速学习法】2023-2024学年七年级数学上册核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

专题07因式分解（4个知识点13种题型） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.提公因式法因式分解 知识点2.公式法因式分解 知识点3.十字相乘法法因式分解 知识点4.分组分解法法因式分解 【方法二】 实例探索法 题型1.因式分解的概念 题型2.用提公因式法分解因式（公因式为单项式） 题型3.用提公因式法分解因式（公因式为多项式） 题型4.用提公因式法分解因式的简单应用 题型5.利用平方差公式分解因式 题型6.综合利用提公因式法与平方差公式分解因式 题型7.完全平方式 题型8.利用完全平方公式分解因式 题型9.综合利用提公因式法与完全平方公式分解因式 题型10.十字相乘法 题型11.十字相乘法的灵活应用 题型12.利用分组分解法分解因式 题型13.分组分解法的灵活应用 【方法三】 成果评定法 【倍速学习四种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.提公因式法因式分解 一．因式分解的意义 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 二．公因式 1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 三．因式分解-提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： 　　（1）找出公因式； 　　（2）提公因式并确定另一个因式： 　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； 　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； 　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 知识点2.公式法因式分解 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 　　平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 　　完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 　2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 知识点4.十字相乘法法因式分解 十字相乘法：如果二次三项式中的常数项能分解成两个因式、的积，而且一次项系数又恰好是，那么就可以进行如下的分解因式， 即：要将二次三项式分解因式，就需要找到两个数、，使它们的积等于常数项，和等于一次项系数, 满足这两个条件便可以进行如下分解因式， 即：．由于把中的分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行分解因式． 知识点5.分组分解法法因式分解 如何将多项式因式分解？ 分析：很显然，多项式中既没有公因式，也不好用公式法．怎么办呢？ 由于, 而：．这样就有： 将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法． 说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式． 【方法二】实例探索法 题型1.因式分解的概念 1．（2022秋•闵行区校级期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+2）+1 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b） 2．（2022秋•浦东新