4.5.3 函数模型的应用（五大题型）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义（人教A版2019必修第一册）

4．5．3 函数模型的应用 【题型归纳目录】 题型一：一次函数与二次函数模型的应用 题型二：分段函数模型的应用 题型三：指数或对数函数模型的应用 题型四：拟合函数模型的应用问题 题型五：根据实际问题的增长率选择合适的函数模型 【知识点梳理】 知识点一、几种常见的函数模型 1、一次函数模型：（，为常数，） 2、二次函数模型：（为常数，） 3、指数函数模型：（为常数，，且） 4、对数函数模型：（为常数，，且） 5、幂函数模型：（为常数，） 6、分段函数模型： 知识点二、解答应用问题的基本思想和步骤 1、解应用题的基本思想 2、解答函数应用题的基本步骤 求解函数应用题时一般按以下几步进行： 第一步：审题 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． 第二步：建模 在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型．这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求． 第三步：求模 运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果． 第四步：还原 把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景． 上述四步可概括为以下流程： 实际问题（文字语言）数学问题（数量关系与函数模型）建模（数学语言）求模（求解数学问题）反馈（还原成实际问题的解答）． 知识点三、解答函数应用题应注意的问题 首先，要认真阅读理解材料．应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感．阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它． 其次，建立函数关系．根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系． 其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键．在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分．这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可．反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率． 【典型例题】 题型一：一次函数与二次函数模型的应用 例1．（2023·湖南长沙·高一长沙市实验中学校考阶段练习）学校某研究性学习小组在对学生上课时注意力集中情况的调查研究中，发现在40min的一节课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单位：min）之间的关系满足如图所示的图象．当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，点，当时，图象是线段BC，其中点．    (1)当时，求注意力指数y与听课时间x的函数关系式； (2)根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．要使得学生学习效果最佳，求老师安排核心内容的时间段（结果用区间表示）． 例2．（2023·江苏苏州·高一校考阶段练习）为刺激消费，某商场开展让利促销活动，规定：顾客购物总金额不超过1000元；若购物总金额超过1000元，则享受一定的折扣优惠 可以享受折扣优惠的金额（购物金额超出1000元的部分） 折扣率 不超过500元的部分 10% 超过500元的部分 20% 例如，某人购物1300元，则其享受折扣优惠的金额为元，实际付款1270元． (1)某顾客购买1800元的商品，他实际应付款多少元？ (2)设某人购物总金额为x元，实际应付款y元，求y关于x的函数解析式． 例3．（2023·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校考阶段练习）沈阳市地铁4号线开通后将给和平长白岛居民出行带来便利．已知该条线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足．经测算，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁为满载状态，载客量为1300人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为660人． (1)写出p关于t的函数表达式； (2)若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，每分钟的最大净收益为多少? 变式1．（2023·福建福州·高一福建省福州格致中学校考期中）某公司生产一种产品，每年需投入固定成本25万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入50万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t件时，销售所得的收