4.5.2 用二分法求方程的近似解（三大题型）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义（人教A版2019必修第一册）

4．5．2 用二分法求方程的近似解 【题型归纳目录】 题型一：用二分法求近似解的条件 题型二：用二分法求方程近似解的过程 题型三：用二分法求函数零点的过程 【知识点梳理】 知识点一：二分法 1、二分法 对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法． 2、用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度． 第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中． 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 ． 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 ． 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令； …… 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止．这时函数的近似零点满足给定的精确度． 知识点诠释： （1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且． （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根． 3、关于精确度 （1）“精确度”与“精确到”不是一回事， 这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即；“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位． （2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值． 【典型例题】 题型一：用二分法求近似解的条件 例1．（2023·福建福州·高一福建省福州格致中学校考期中）下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·高一课时练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   例3．（2023·全国·高一专题练习）用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2023·全国·高一专题练习）下列图象中，不能用二分法求函数零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   变式2．（2023·高一单元测试）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A． B． C． D． 变式3．（2023·全国·高一专题练习）下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 变式4．（2023·湖北荆州·高一校联考期末）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用． 题型二：用二分法求方程近似解的过程 例4．（2023·全国·高一随堂练习）用二分法求方程的近似解．（精确度为0.1，可以使用计算器） 例5．（2023·全国·高一专题练习）下列是函数在区间上一些点的函数值. 由此可判断：方程的一个近似解为 (精确度0.1)． x 1 1.25 1.375 1.4065 1.438 0.165 x 1.5 1.625 1.75 1.875 2 0.625 1.982 2.645 4.35 6 例6．（2023·高一课时练习）若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点 . 变式5．（2023·上海·高一专题练习）用二分法求方程在上的近似解，取中点，则下一个有根区间是 ． 变式6．（2023·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期末）用“二分法”求方程在区间内的实根，首先取区间中点进行判断，那么下一个取的点是 ． 变式7．（2023·全国·高一专题练习）求方程在区间内的实根，取区间中点，那么下一个有根区间是 ． 变式8．（2023·全国·高一随堂练习）已知函数在区间内有零点，求方程在区间内的一个近似解．（精确度为0.1） 变式9．（2023·全国·高一课堂例题）利用计算器，求方程的近似解（精确到）. 【方法技巧与总结】 （1）依据图象估计零点所在的初始区间（这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽可能的小，区间的端点尽量为整数）． （2）取