专题24.15 点和圆的位置关系（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题24.15 点和圆的位置关系（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】点和圆的位置关系 点与圆的位置关系分为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种情况，这三种位置关系与点到圆心的距离(d)、圆的半径(r)之间有着紧密的联系．具体关系如下： 点在圆外，； 点在圆上，； 点在圆内，； 【知识点二】圆的确定 经过两点可作无数个圆，这些圆的圆心在这两点连线的垂直平分线上. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 【知识点三】外心 1. 三角形外接圆的圆心叫三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交点， 它到三角形各顶点的距离相等. 2. 锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边重点，钝角三角形的 外心在三角形外部。 3. 三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与外心连线夹角的一半. 【知识点四】反证法的一般步骤 1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立。 【考点一】点和圆的位置关系➽➼判断★★求半径 【例1】（2023秋·全国·九年级专题练习）在矩形中，，． （1）若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？ （2）若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 【答案】（1）点在内，点在外，点在上；（2） 【分析】（1）根据点到圆的位置关系，比较与圆的半径之间的大小关系，即可得解； （2）根据题意，和点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，即可得解． （1）解：连接， ，， ， 的半径为8， 点在内，点在外，点在上； （2）解：，，， 又以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， 的半径的取值范围是． 故答案为：． 【点拨】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，判断点与圆的位置关系，是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2023秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）已知的半径为，A为线段的中点．若为，则点A在的位置关系是（） A．A在圆内 B．A在圆内 C．A在圆内 D．无法确定 【答案】A 【分析】先计算出的长，再比较与圆的半径的大小，判断点和的位置关系． 解：∵点是线段的中点，且， ∴， 而的半径为， ∴圆的半径， ∴点在内． 故选：A． 【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，正确记忆点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系是解题关键． 【变式2】（2022秋·九年级单元测试）已知点 到 上所有点的距离中，最大距离为 厘米，最小距离为 厘米，那么 的半径长等于 厘米． 【答案】2或5 【分析】点应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得出答案． 解：如图：    当点在圆内时，最大距离为7厘米，最小距离为 厘米，则直径是10厘米，因而半径是5厘米； 当点在圆外时，最大距离为7厘米，最小距离为 厘米，则直径是4厘米，因而半径是2厘米． 故答案为:5或2． 【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解决本题的关键． 【考点二】三角形的外接圆➽➼理解➽➼求半径★★判断位置★★判断三角形形状 【例2】（2023秋·江苏宿迁·九年级沭阳县怀文中学校考阶段练习）已知等腰三角形中，．    （1）用直尺和圆规作出的外接圆；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，，求的外接圆半径． 【答案】（1）见分析；（2）的半径为 【分析】（1） 作边，的垂直平分线，两直线交于点O，再以O为圆心，为半径画圆即可； （2）连接连接交于，则垂直平分，先求解，再求解，再在中，利用勾股定理建立方程求解即可． （1）解：如图，即为所作；      （2）连接交于，如图，    ∵， ∴， ∴垂直平分， 即，， 在中，， 设的半径为r，则，， 在中，，解得， 即的半径为． 【点拨】本题考查的是作三角形的外接圆，垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练的确定三角形的外接圆的圆心是解本题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）下列叙述正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．三点确定一个圆 C．平分弦的直径垂直于弦 D．三角形的外心是三角形各边垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】由圆心角，弧，弦的关系定理可判断A，由不在同一直线上的三点确定一个圆可判断B，由垂径定理可判断C，由三角形的外心的含义可判断D，从而可得答案． 解：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故A不符合题意； 不在同一直线上的三点