素养拓展30 阿波罗尼斯圆和蒙日圆的问题（精讲+精练）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 素养拓展30 阿波罗尼斯圆和蒙日圆的问题（精讲+精练） 一、知识点梳理 一、阿波罗尼斯圆 1.阿波罗尼斯圆的定义 在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（时点的轨迹是线段的中垂线） 2.阿波罗尼斯圆的证明 设．若（且），则点的轨迹方程是，其轨迹是以为圆心，半径为的圆． 证明：由及两点间距离公式，可得， 化简可得①， （1）当时，得，此时动点的轨迹是线段的垂直平分线； （2）当时，方程①两边都除以得，化为标准形式即为： ，∴点的轨迹方程是以为圆心，半径为的圆． 图① 图② 图③ 【定理】为两已知点，分别为线段的定比为的内外分点，则以为直径的圆上任意点到两点的距离之比为． 证明：以为例．如图②，设，，则， ．过作的垂线圆交于两点，由相交弦定理及勾股定理得，于是． 同时在到两点距离之比等于的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的， 圆上任意一点到两点的距离之比恒为．同理可证的情形． 3.阿波罗尼斯圆的相关结论 【结论1】当时，点B在圆内，点A在圆外；当时，点A在圆内，点B在圆外． 【结论2】因，故是圆的一条切线．若已知圆及圆外一点A，可以作出与之对应的点B，反之亦然． 【结论3】所作出的阿波罗尼斯圆的直径为，面积为． 【结论4】过点作圆的切线（为切点），则分别为的内、外角平分线． 【结论5】阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分和外分所得的两个分点，如图所示，是的内分点，是的外分点，此时必有平分，平分的外角． 证明：如图①，由已知可得（且），，又， 平分．由等角的余角相等可得，平分的外角． 【结论6】过点作圆不与重合的弦，则AB平分． 证明：如图③，连结，由已知（且），又，平分． 平分． 二、蒙日圆 1.蒙日圆的定义 在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1． 证明：设椭圆的方程为，则椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：．①当题设中的两条互相垂直的切线斜率均存在且不为时，可设（且），过的椭圆的切线方程为，由得， 由其判别式值为，得， 是这个关于的一元二次方程的两个根，， 由已知点的坐标满足方程． ②当题设中的两条互相垂直的切线有斜率不存在或斜率为时，可得点的坐标为或，此时点也在圆上． 综上所述：椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：． 2.蒙日圆的几何性质 【结论1】过圆上的动点作椭圆的两条切线，则． 证明：设点坐标，由，得 ，由其判别式的值为0， 得， ，是这个关于的一元二次方程的两个根，，，，． 【结论2】设为蒙日圆O：上任一点，过点作椭圆的两条切线，交椭圆于点为原点，则的斜率乘积为定值． 【结论3】设为蒙日圆O：上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的斜率乘积为定值，且的斜率乘积为定值（垂径定理的推广）． 【结论4】过圆上的动点作椭圆的两条切线，O为原点，则平分椭圆的切点弦． 证明：点坐标，直线斜率，由切点弦公式得到方程，，，由点差法可知，平分，如图是中点． 【结论5】设为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交蒙日圆O于两点C，D，则的斜率乘积为定值． 【结论6】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的斜率乘积为定值：． 【结论7】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的最大值为，的最小值为． 【结论8】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为的最小值为． 二、题型精讲精练 【典例1】设，是平面上两点，则满足(其中为常数，且)的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，已知，，且. （1）求点所在圆的方程. （2）已知圆与轴交于，两点(点在点的左边)，斜率不为0的直线过点且与圆交于，两点，证明：. 【详解】（1）解：由题意可得，，即， 则，整理得，即圆的方程为. （2）证明：对于圆，令，得或，所以，. 设直线的方程为，，. 由得， 则，. 则直线与关于轴对称，即. 【典例2】已知椭圆的一个焦点为，离心率为． （I）求椭圆的标准方程； （II）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程． 【详解】（I）可知，又，故椭圆的标准方程为． （II）设两切线为， ①当轴或//轴时，对应//轴或轴，可知或． ②当与轴不垂直且不平行时，，设的斜率为，则的斜率为，的方程为，联立，得， ∵直线与椭圆相切，∴，得 ，整理得 （*）