专题12 幂函数（3知识点+5题型）-【专题突破】2023-2024学年高一数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019必修第一册）

专题12 幂函数（3知识点+5题型） 幂函数 常考题型 幂函数的特性 幂函数图像与性质 幂函数的概念 题型一：求幂函数的解析式 题型二：幂函数的性质及应用 题型三：幂函数图像及应用 题型四：幂函数单调性比较大小 题型五：幂函数综合应用 知识点一：幂函数的概念 （1）幂函数的定义 形如的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.  （2） 幂函数的特征： 幂函数要同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. 知识点二：幂函数图像与性质 （1） 幂函数图像 （2）幂函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 知识点三：幂函数的特性 ①单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴． ②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点． ③奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数． 当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数 题型一：求幂函数的解析式 解题思路：形如的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数. 幂函数要同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. 例1．现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 例2．已知幂函数的图像过点，则（    ） A． B． C． D．0 例3．已知点在幂函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 变式训练 4．在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 6．已知幂函数的图象经过点，则函数在区间上的最大值是（    ） A．2 B．1 C． D．0 7．已知点在幂函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 题型二：幂函数的性质及应用 解题思路：①单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴． ②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点． ③奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数． 当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数 例1．若函数为幂函数，且在区间上单调递减，则（    ） A． B．3 C．或3 D．2或 例2．已知幂函数是奇函数，则 ． 例3．已知幂函数，若，则的取值范围是 ． 例4．函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 例5．已知幂函数满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，是否存在实数，（），使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由． 变式训练 6．已知函数 是幂函数，且在上单调递减，则实数m 的值为（    ） A．2 B． C．1 D．或2 7．已知幂函数，下列能成为“是上奇函数”充分条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．已知幂函数在区间上单调递增，则（    ） A．-2 B．1 C． D．-1 9．（多选题）已知是幂函数图像上的任意两点，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知幂函数在上单调递增. (1)求m的值； (2)求函数在上的最大值. 题型三：幂函数图像及应用 解题思路： 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 例1．若幂函数的图象经过点，则的图象是（    ） A．  B．  C．   D．   例2．函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（    ） A．B．C． D． 例3．用函数表示函数和中的较大者，记为：，若，，则的大致图像为（   ） A．B．C．D． 变式训练 4．幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（    ）    A．，，， B．，，， C．