4.5 函数的应用(二)-2023-2024学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第一册）

4.5：函数的应用(二) 【考点梳理】 考点一：函数的零点 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 方程、函数、图象之间的关系： 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点． 考点二：函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 考点三：二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解． 考点四：用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0. 2．求区间(a，b)的中点c. 3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； (3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. 4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断． 考点五：函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 【题型归纳】 题型一：函数零点存在定理 1．（2023·全国·高一）已知是函数的一个零点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高一专题练习）方程的根所在区间是（    ） A． B． C． D． 3．（2023春·浙江杭州·高一校联考阶段练习）函数的一个零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 题型二：函数的零点区间求参数问题 4．（2023·全国·高一专题练习）若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国·高一专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·全国·高一专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：函数的零点个数求参数问题 7．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，．若有2个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2023秋·安徽淮北·高一淮北市实验高级中学校考期末）已知函数，若的零点个数为2，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（2023秋·河南南阳·高一统考期末）若函数有两个零点，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四：用二分法求函数f(x)零点近似值 10．（2023·全国·高一专题练习）用二分法可以求得方程的近似解(精确度为0.1)为（    ） A． B． C． D． 11．（2023·全国·高一专题练习）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 12．（2023·全国·高一）函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则函数可以是（） A． B． C． D． 题型五：函数与方程的综合问题 13．（2023秋·四川南充·高一四川省南充高级中学校考阶段练习）关于 ​的一元二次方​恒有两个实数根​. (1)当 ​且两个根皆为负时, 求实数​的取值范围. (2)不等式 ​恒成立, 求实数​的最大值. 14．（2023秋·上海松江·高一校考期末）已知函数. (1)当时，求解的零点； (2)若对任意的，不等式恒不成立，求实数的取值范围； (3)讨论函数的零点个数. 15．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，，，且函数有三个零点. (1)求的取值范围； (2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值