4.4 对数函数-2023-2024学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第一册）

4.4对数函数 【考点梳理】 考点一：对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 考点二：对数函数的图象和性质 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 考点三:不同底的对数函数图象的相对位置 一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0<a<1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x轴． 考点四：反函数的概念 一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． (1)y＝ax的定义域R就是y＝logax的值域；而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝logax的定义域． (2)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称． (3)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的单调性相同．但单调区间不一定相同． 考点五：三种常见函数模型的增长差异 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0) 在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 随x的增大匀速上升 增长速度 y＝ax的增长快于y＝kx的增长，y＝kx的增长快于y＝logax的增长 增长后果 会存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax 【题型归纳】 题型一：对数函数的概念与解析式 1．（2023·上海·高一）下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2021秋·高一校考课时练习）下列函数中，是对数函数的有 ①；②；③；④；⑤. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023·全国·高一专题练习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ） A． B． C．或 D．不确定 题型二：对数函数的定义域（复合型对数函数） 4．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（2023秋·全国·高一专题练习）函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 6．（2023秋·河北石家庄·高一统考期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型三：对数函数的值域问题 7．（2023·全国·高一专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·全国·高一专题练习）已知，，则的值域为（    ） A． B． C． D． 9．（2023·全国·高一专题练习）已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型四：对数函数的图像问题 10．（2023·全国·高一专题练习）函数的图象大致为（    ） A．  B．  C．  D．   11．（2022秋·江西·高一校联考阶段练习）如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（    ） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b 12．（2022秋·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考期中）已知幂函数的图象过函数且的图象所经过的定点，则的值等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型五：对数函数的单调性问题（复合函数、求参数） 13．（2023·全国·高一专题练习）函数的单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 14．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，且满足时，实数的取值范围（    ） A．或 B．或 C． D． 15．（2023·全国·高一专题练习）函数在区间上单调递减的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 题型六：对数函数的单调性比较大小 16．（2023·全国·高一专题练习）已知，，，则x，y，z的大小关系为（    ） A． B． C． D． 17．（2023·全国·高一专题练习）函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则（    ） A． B． C． D． 18．