4.1 指数-2023-2024学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第一册）

4.1指数 【考点梳理】 考点一：n次方根、n次根式 1．a的n次方根的定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2．a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 a∈R n为偶数 ± [0，＋∞) 3.根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 考点二：根式的性质 1.＝0(n∈N*，且n>1)．2．()n＝a(a≥0，n∈N*，且n>1)． 3.＝a(n为大于1的奇数)．4.＝|a|＝(n为大于1的偶数)． 考点三：分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义 考点四：有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 考点五：无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 考点六二实数指数幂的运算性质 1．aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． 【题型归纳】 题型一：指数和指数幂的运算 1．（2022秋·黑龙江大庆·高一大庆中学校考期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏·高一专题练习）用分数指数幂的形式表示下列根式（式中字母都是正数）： (1)；(2)；(3)． 3．（2023·全国·高一随堂练习）化简（式中的字母均为正实数）： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)； (6)；(7)；(8)． 题型二：利用根式的性质化简或求值 4．（2023秋·江苏镇江·高一江苏省扬中高级中学校考阶段练习）化简的结果是（    ） A．0 B． C．0或 D． 5．（2022秋·江苏盐城·高一盐城市大丰区新丰中学校考期中）（1）已知是方程的两个根，且，求的值． （2）已知，求下列各式的值： ①； ②． 6．（2021·全国·高一专题练习）化简下列式子： （1）；（2）；（3） 题型三：根式与分数指数幂的互化 7．（2022·高一单元测试）化简的结果为（    ） A． B． C．1 D． 8．（2023·全国·高一课堂例题）已知､，下列各式中总能成立的是（    ） A．； B． C．； D． 9．（2022·高一课时练习）下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（    ） A．B．C．D． 题型四：运用指数幂运算公式化简求值 10．（2022秋·河北张家口·高一张家口市宣化第一中学校考阶段练习）已知，则的值等于（    ） A． B．6 C． D．8 11．（2023秋·江苏南京·高一南京市中华中学校考阶段练习）化简求值： (1)计算； (2)计算（式中字母均是正数） (3)已知，求的值. 12．（2023·全国·高一专题练习）求下列各式的值. (1)若，求； (2)已知，求的值； (3)若，求； (4)若，求. 题型五：分数指数幂运算的综合应用 13．（2023·上海·高一专题练习）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)；(2)；(3)；(4). 14．（2023·全国·高一专题练习）化简求值： (1)； (2)若，求下列各式的值： ①     ② 15．（2023·全国·高一随堂练习）已知，求下列各式的值： (1)；(2)；(3)；(4) 【双基达标】 一、单选题 16．（2023秋·江苏南京·高一南京市第一中学校考阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 17．（2023秋·江苏扬州·高一江苏省高邮中学校联考阶段练习）下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（2023·全国·高一专题练习）已知，，给出下列4个式子：①；②；③；④，其中无意义的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 19．（2023·全国·高一专题练习）计算的结果为（    ） A． B． C．1 D． 20．（2023·全国·高一专题练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（2023·全国·高一专题练习）化简或计算下列各式： (1) (2) 22．（2023·江苏·高一专题练习）已知，求的值． 23．（2023·全国·高一专题练习）（1）化简：； （2）已知，分别求，的值. 【高分突破】 一、单选题 24