专题08 抛物线的压轴题（5类题型+过关检测）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

专题08 抛物线压轴题 1．抛物线定义：平面内与一个定点F和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点F不在定直线上．它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e）不同，当e＝1时为抛物线，当0<e<1时为椭圆，当e>1时为双曲线． 抛物线的标准方程：其焦点F的坐标，准线方程；或其焦点F的坐标，准线方程． 2．抛物线图像及其性质： 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 焦半径 范围 对称性 顶点 离心率 焦半径 焦点弦公式 3．直线和抛物线的位置关系： （1）将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ． 若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若 ①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点． （2）直线与抛物线的相交弦 设直线交抛物线于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： （3）已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。 设A（x1,y1），B（x2,y2），则： ①焦点弦长 ② ③，其中|AF|叫做焦半径， ④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短 ⑤过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点． 题型一 抛物线的标准方程 例1（1）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． （2）设双曲线的左、右焦点分别为，，O为坐标原点．以为直径的圆与双曲线的右支交于P点，且以为直径的圆与直线相切，若，若双曲线C与抛物线有共同的右焦点，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． （3）抛物线：的焦点为，准线是，是坐标原点，在抛物线上满足，连接并延长交准线与点，若的面积为，则抛物线的方程是（    ） A． B． C． D． 练习题 （1）已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且，若点的坐标为，且，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 （2）已知抛物线：的焦点为F，准线l上有两点A，B，若为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是（    ） A． B． C．或 D． （3）已知抛物线的焦点为，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点(在第一象限)，，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（    ） A． B． C． D． （4）点到抛物线的准线的距离为6，则该抛物线的方程是（    ） A． B． C．或 D．或 题型二 抛物线的最值问题 例2（1）已知直线恒过定点，抛物线：的焦点坐标为，为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （2）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．9 （3）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点是直线上的动点.若点在抛物线上，且，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 练习题 （1）已知以圆：的圆心为焦点的抛物线与圆在第一象限交于点，点是抛物线：上任意一点，与直线垂直，垂足为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． （2）设P为抛物线C：上的动点，关于P的对称点为B，记P到直线的距离分别，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． （3）希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，点，，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为抛物线上的动点，在直线上的射影为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． （4）已知抛物线，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 （5）已知点在抛物线：上，过作圆的两条切线，分别交于，两点，且直线的斜率为，若为的焦点，点为上的动点，点是的准线与坐标轴的交点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 题型三 抛物线性质综合题 例3：（1）（多选题）在平面直角坐标系中，已知点是抛物线：的焦点，点是上异于原点的动点，过点且与相切的直线与轴交于点，设抛物线的准线为，，为垂足，则（    ） A．当点的坐标为时，直线的