第22章 二次函数 ——三角形最大面积的探究 课件 2023—2024学年人教版数学九年级上册

E 二次函数 三角形最大面积的探究 常见类型一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形面积的计算 直接使用三角形的面积公式S=)ABh 2 其中AB是三角形在坐标轴上（或平行于坐标轴)的线段长， h为AB边上的高. 新知探究 三边都不平行于坐标轴或不在坐标轴上的三角形面积计算 SAABC=S△ADC+S△ADB 铅垂高>( 水平宽 =3AD么+) S-- 水平宽×铅垂高 2 2xcxy.-n） 新知探究 例1：在平面直角坐标系中，已知A(1,1)、B(7,3)、C(4,7), (1)求△ABC的面积. C(4,7) 解：过点C作x轴的垂线交AB于点D 设直线AB的表达式为y=kx+b,将 B A(1,1)、B(7,3)代入得 D (73) k+b=1 k 解得 3 A1,0 7k+b=3 b 0 :直线B的表达式为yx+召 33 当x=4时，y3 4+2=2 (7-107-2) 2 即点D为(4,2) =15 例1：在平面直角坐标系中，已知A(1,1)、B（7,3)、C(4,7), (2)在线段AC上有一动点M(不与点A重合)，如何表示△ABM的面积. 解：设直线AC的表达式为y=kr+b, C4,7) 将A(1,1)、C(4,7)代入得 M k+b=1 k=2 解得 B 4k+b=7 b=-1 7,3) ∴.直线AC的表达式为y=2x-1 E A(1,0 设点M的坐标为(x,2x-1), 0 过点AM作轴的重线交B于点E、则E点为（化，行+号） M=2x1-(+号)-3 SAABM =5x-5 例2：如图，抛物线经过A(1,0),B(4,0),C(0,-4)三点，D是直线BC上方的抛物 线上的一个动点，连接DC,DB, (1)求抛物线的表达式 (2)求△BCD面积的最大值，并写出此时D点的坐标. 解：(1)设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+c .抛物线经过A(1,),B(4,0,C0,-4)三点， a+b+c=0 a=-1 16a+4b+c=0 解得b=5 c=-4 c=-4 故抛物线的表达式为y=-x2+5x-4 解：(2)设直线BC的函数表达式为y=kx+m, 将点B(4,0),C(0,-4)代入y=k+m,得 4k+m=0 [k=1 解得 m=-4 m=-4 ∴.直线BC的函数表达式为y=x-4. 设点D的坐标为(x,x2+5x-4),过点D作y轴的平行线交直线 BC于点P,则P点为x,x-4) DP=-x2+5x-4-(x-4)=-x2+4x 4(-2+4w=-20-2)2+8 ∴.当x2时，△BCD的面积取得最大值，最大值是8.此时点D为（2,2) 练习1.如图，抛物线=2+b+c经过点A（-3,0),B（1.0),C(0,·3) (1)求抛物线的解析式： (2)若点P为第三象限内地物线上的一点，设△PAC的面积为S,求S的最大值并求出 此时点P的坐标； 解：（1)拋物线y=x2+br+c经过A（·3,0),B（1,0), E ∴.设抛物线的解析式为：y=a（x+3)(x·1),A B 将C点坐标(0，·3)代入，得： a(0+3)(0-1)=5,解得a=1, 则y=（x+3)（x-1)=x2+2x·3, 所以抛物线的解析式为：y=x+2x·3; 解：（2)过点P作x轴的垂线，交AC于点N. 设直线AC的解析式为y=kc+m, -3k+m=0 k=-1 由题意，得 解得 m=-3 m=-3 ∴.直线AC的解析式为y=-x-3, 设P点坐标为(x,x2+2x-3),则，点N的坐标为(x,x-3), NP=-x-3-(6x2+2x-3)=-x2-3x N sc-部g 当x=时，s有最大值，此时点P的坐标为(，孕)： 归纳总结 1.水平宽度与铅垂高度的坐标表示要写准确。 2.铅垂法求三角形面积：假设平面内的定点为A、B,二次函数图 像上的动点为P,铅垂法求解△ABP的面积的基本思路： 过点P作x轴的垂线与直线AB交于点E 则S。ABP= AB水平宽度×PE铅垂高度 2 Xa-XByp-YE 2