第二讲：对数的理解与对数的运算 知识总结与题型归纳讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

对数的理解与对数的运算 知识再现 一、对数的概念 1、定义：如果（，且），那么就称是以a为底N的对数， 记作，其中a叫作对数的底数，N叫作真数． 2、对数的基本性质 ①当，且时，． ②负数和0没有对数，即. ③特殊值：1的对数是0，即0（，且）； 底数的对数是1，即（，且）． 二、常用对数与自然对数 1、常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，对数简记为； 2、自然对数：以无理数为底的对数称为自然对数，对数简记为. 三、对数的运算性质 1、运算性质：,且， （1）； （2）； （3） 2、换底公式 (a＞0，且a1；c＞0，且c1；)． （2）①； ②； ③； ④； ⑤. 题型归纳 题型一：对数的概念 例1：指数式 x3=15的对数形式为:( ) A．log 3 15=x B．log 15 x=3 C．log x 3= 15 D．log x 15= 3 例2：(多选)下列说法正确的有（ ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可以化成对数式 C．以为底的对数叫做常用对数 D．以为底的对数叫做自然对数 例3：下列四个等式： ①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若lg x＝10，则x＝10；④若ln x＝e，则x＝e2. 其中正确的是(　　) A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 例4：在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是(　　) A．a>5或a<2 B．2<a<3或3<a<5 C．2<a<5 D．3<a<4 变式训练 1.对数式中，实数的取值范围是（ ） A．(－∞，5) B．(3，5) C．(3，＋∞) D．(3，4)∪(4，5) 2．在b＝中，实数m的取值范围是(　　) A．R　　　　　　B．(0，＋∞) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) 3．若x＝y2(y>0，且y≠1)，则必有(　　) A． B． C． D． 题型二：指数对数互化 例1：将下列指数式与对数式互化： （1）log216＝4; (2)log27＝－3；(3)＝6; (4)43＝64； (5)3－2＝ (6) ＝16. 例2：设x＝log23，则 ＝________. 例3：已知,则f(4)等于(　　) A．log25 B．log23 C． D． 变式训练 1.（多选）下列指数式与对数式互化正确的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 2.将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式： （1）2－7＝； （2）；（3）lg1000＝3；（4） 3.将下列对数式为指数式或指数式化为对数式： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型三：解对数方程 例1：方程 的解是( ) A． x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝9 例2：若log2＝1，则x＝________． 例3：方程lg x＋lg (x－1)＝1－lg 5的根是________． 变式训练 1.已知，则_________． 2.若log2＝1，则x＝________． 3.求下列各式中的的值： （1）； （2）． 4.已知，则的值为____． 5.已知，求的值． 题型四：对数的运算（化简求值） 例1．若a＞0，a≠1，x＞0，y＞0，x＞y，下列式子中正确的个数是(　　) ①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)； ③loga＝logax÷logay; ④loga(xy)＝logax·logay. A.0 B.1 C.2 D.3 例2：求下列各式中x的值： (1)log3(log2x)＝0；(2)log2(lgx)＝1； (3)5＝x；(4)(a)＝x(a>0，b>0，c>0，a≠1，b≠1)． 例3：计算： ＋ln e2＝________. 例4：：已知，试用表示； 例5：已知，，，，则下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 例6：化简： (1)； (2)(lg5)2＋lg2lg50＋2. 变式训练 1.________． 2.已知2=m，则36=_____. 3.若a、b是方程2lg2 x－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)· 的值． 4.地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝ (lgE－11.4).2011年3月11日，日本东海岸发生了9.级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的