7.1.1 数系的扩充和复数的概念 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.1.1 数系的扩充和复数的概念 学习目标 1.了解引进虚数单位i的必要性， 2.了解数集的扩充过程． 3.理解复数的概念、表示法及相关概念． 4.掌握复数的分类及复数相等的充要条件． 新课引入 我们学过的数系 自然数 分数 有理数 无理数 实数 负数 整数 扩充 扩充 思考探究 我们知道，对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0，当判别式△<0时没有实数根，因此，在研究代数方程的过程中，如果有限于实数集，有些问题就无法解决。 如何解决负数开平方问题呢？ 概念形成 1、 现在我们就引入这样一个新数 i ，并且规定： （3）我们把 i 叫做虚数单位。 （1）i 2  1；即x=i是方程x2+1=0的解 （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。 概念形成 形如a+bi(a、b∈R)的数叫做复数。 全体复数所成的集合叫做复数集，一般用字母C表示 。 2、复数的概念 实部 3、复数的代数形式 复数通常用字母 z表示，即 虚部 其中 称为虚数单位。 （a、bR） 思考:根据上述几个例子，复数z= a+bi可以是实数吗？如果可以，需要满足什么条件？ 复数 Z=a+bi 4、复数的分类 ¹ ¹ ) 0 0 ( b a ， 非纯虚数 ¹ = ) 0 0 ( b a ， 纯虚数 ¹ ) 0 ( b 虚数 ( = ) 0 b 实数 5、复数相等 设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d. 6、思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间有什么关系？ 复数集 虚数集 实数集 纯虚数集 注意：两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。但两个实数可以比较大小。 例题巩固： 1．复数i－2的虚部是(　　) A．i　　　　　　　　　 B．－2 C．1 D．2 答案：C 例题巩固： 2．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为(　　) A．x＝1，y＝－1 B．x＝0，y＝－1 C．x＝1，y＝0 D．x＝0，y＝0 答案：A 例题巩固： 3．在下列数中，属于虚数的是 ，属于纯虚数的是． 0, 1＋i ，πi ， ＋2i， － i， 答案：都是虚数，纯虚数只有πi 和 例题巩固（教材69页例题）： 5、 实数m取什么值时，复数 z=m+1+(m-1)i 是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。 解: （1）当 ，即 时，复数z 是实数。 （2）当 ，即 时，复数z 是虚数。 （3）当 ，即 时，复数z 是纯虚数 例题巩固 6、　给出下列说法：①复数2＋3i的虚部是3i；②形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数；③若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数；④若两个复数能够比较大小，则它们都是实数．其中错误说法的个数是(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 例题巩固 解析：复数2＋3i的虚部是3，①错；形如a＋bi(b∈R)的数不一定是虚数，②错；只有当a∈R，a＋3≠0时，(a＋3)i是纯虚数，③错；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，故④正确，所以有3个错误． 答案：C 例题巩固 7、　下列说法中正确的是(　　) A．复数由实数、虚数、纯虚数构成 B．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有x≠0 C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数 D．若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i 例题巩固 解析：选项A错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数；选项B错，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有y≠0，但可以x＝0；选项C正确，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是纯虚数，必有x＝0，y≠0，因此只要x≠0，复数z一定不是纯虚数；选项D错，当a，b∈R时，a＋i与b＋i都是虚数，不能比较大小． 答案：C 例题巩固 　实数x分别取什么值时，复数z＝ ＋(x2－2x－15)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ [解]　(1)当x满足x＋3≠0且x2－2x－15＝0时， 即x＝5时，z是实数． (2)当x满足x＋3≠0且x2－2x－15≠0时， 即x≠－3且x≠5时，