第二讲 指数的运算与指数函数 知识总结与题型归纳讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二讲：指数函数及其性质知识总结与题型归纳 知识再现 1．指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量. 指数函数定义解读： (1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量x；(3)系数：ax的系数是1. 2．指数函数的图象和性质 指数函数的图象和性质如下表所示： 0＜a＜1 a＞1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 最值 无最值 奇偶性 非奇非偶函数 周期 无周期 零点 无零点 图象解读：（1）a>1是“一撇”，0<a<1是“一捺”； （2）图象位于x轴上方； （3）①a>1，当x>0时y>1;当x<0时1>y>0.②1>a>0，当x>0时1>y>0;当x<0时y>1； （4）函数为“凹函数”。 3.函数性质比较 指数函数①、②③、④的图象如下图所示 则，总结：第一象限：底大幂大（底大图高） 题型归纳 例1：(1)下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.，其中指数函数的个数(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则(　　) A．a＝1或a＝3 B．a＝1 C．a＝3 D．a>0且a≠1 [解析]　(1)形如“y＝ax(a>0，且a≠1)”的函数为指数函数，只有③符合，选B. (2)由指数函数的概念可知，得a＝3.[答案]　(1)B　(2)C 例2：若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝9，则f(－2)＝________，f(1)＝________. [解析]　设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)， ∵f(2)＝9，∴a2＝9，a＝3，即f(x)＝3x.∴f(－2)＝3－2＝，f(1)＝3.[答案]　　3 变式训练 1.已知函数为指数函数，则 . 【答案】1【解析】 函数为指数函数，解得 2.下列函数是指数函数的是________(填序号)． ①y＝4x；②y＝x4；③y＝(－4)x；④y＝4x2. 【答案】①【解析】 形如且)的函数，叫指数函数. 由指数函数定义，只有①是指数函数；②y＝x4是幂函数；③y＝(－4)x，由于底数，所以③不是指数函数；④y＝4x2不是指数函数. 故答案为：① 3.已知指数函数图像经过点，则_____. 【答案】 【解析】 设指数函数为（且），由题意得，解得，所以，故．答案：． 题型二 指数函数的图象 例1：(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<0 　　　 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 　　　 D．0<a<1，b<0 [解析]　(1)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0<a<1；从曲线位置看，是由函数y＝ax(0<a<1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b>0，即b<0. 例2：如图，是指数函数①、②③、④的图象，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】∵当底数大于1时指数函数是定义域内的增函数， 当底数大于0小于1时是定义域内的减函数， 由图可知、为增函数，则大于1. 、为减函数，则大于0小于1. 当时，对应的函数值依次为①、②③、④， 由图知，当时，对应函数值由下到上依次是②①④③，得， 所以正确选项为B故选:B． 例3：在同一直角坐标系中，函数与在上的图象可能是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】为幂函数，为指数函数 A. 过定点，可知，，的图象符合，故可能. B. 过定点，可知，，的图象不符合，故不可能. C. 过定点，可知，，的图象不符合，故不可能. D.图象中无幂函数图象，故不可能.故选：A 例4：画出函数的图象，并根据图象指出这个函数的一些重要性质. 【答案】见解析【解析】 ，其图象是由两部分组成的：一是把的图象向右平移1个单位长度，取的部分；二是把的图象向右平移1个单位长度，取的部分，如图中实线部分所示。 由图象可知，函数有三个重要性质. ①对称性：图象的对称轴为直线. ②单调性：在上单调递减，在上单调递增. ③函数的值域：. 变式训练 1.函数的图象可能是 （ ） A．B． C．D． 【答案】C 【解析】 ①当时，函数可以看做函数的图象向下平移个单位，由于，则A错误； 又时，，则函数过点，故B错误； ②当时，函数可以看做函数的图象向下平移个单位，由于，则D错误； 又时，，则函数过点，故C正确； 故选：C 2．y＝的图象可能是(　　) [解析]　0<<1且过点(0,1)，故选C.[答案]　C 3．函数y＝2－|