第一讲：根式的理解与指数的运算 知识总结与题型归纳讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一讲：根式的理解与指数的运算 知识再现 1．根式的概念 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示． (2)当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，记为±，负数没有偶次方根． (3)0的任何次方根都是0，记作＝0. 式子叫做根式，其中n(n>1，且n∈N*)叫做根指数，a叫做被开方数． 2．根式的性质 ①()n＝a. ②＝ 3．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂不存在 4.有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．（2）ar÷as＝ar－s(a>0，r，s∈Q)； (3)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．(4)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． (5)()r＝(a>0，b>0，r∈Q)．(6)(只能提公因式） 题型归纳 题型一：对根式的理解 例1：下列说法正确的个数是(　　) ①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义． A．1 B．2 C．3 D．4 例2：已知m10＝2，则m等于(　　) A. B． C. D． 例3：下列式子中成立的是(　　) A．a＝ B．a＝－ C．a＝－ D．a＝ 变式训练 1．以下说法正确的是(　　) A．正数的n次方根是正数 B．负数的n次方根是负数 C．0的n次方根是0(n∈N*) D．a的n次方根是 2．若有意义，则实数x的取值范围是________． 题型二：根式的性质化简或求值 例1：若x≤－3，则 ________． 例2：（1）＝________. （2）化简：－＝________. 例3：若，则__________. 例4：化简：＝________. 例5．求使等式＝(3－a)成立的实数a的取值范围． 变式训练 1.设x∈[1,2]，化简()4＋. 2.若本例中的“x∈[1,2]”改为“x∈[2,3]”，其他条件不变，化简求值． 3．若n<m<0，则 －等于(　　) A．2m B．2n C．－2m D．－2n 4．设－2<x<2，求－的值． 5．化简： (1<b<2)＝________. 题型三：根式与分数指数幂的互化 例1：已知，则_________. 例2：__________ . 变式训练 1．设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是(　　) 题型四：利用分数指数幂的运算性质化简求值 例1:已知，，求的值. 例2：化简求值(式子中的字母都为正数)： （1）； （2）． 例3：若，求下列各式的值: （1）；（2）；（3）；（4） 变式训练 1. 2.（1）已知，化简. （2）设，，，求的值. 3.已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求的值. 4.已知，求的值． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一讲：根式的理解与指数的运算 知识再现 1．根式的概念 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示． (2)当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，记为±，负数没有偶次方根． (3)0的任何次方根都是0，记作＝0. 式子叫做根式，其中n(n>1，且n∈N*)叫做根指数，a叫做被开方数． 2．根式的性质 ①()n＝a. ②＝ 3．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂不存在 4.有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．（2）ar÷as＝ar－s(a>0，r，s∈Q)； (3)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．(4)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． (5)()r＝(a>0，b>0，r∈Q)．(6)(只能提公因式） 题型归纳 题型一：对根式的理解 例1：下列说法正确的个数是(　　) ①16的4次方根