3.3.1 抛物线及其标准方程（五大题型）-2023-2024学年高二数学新教材同步配套培优讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

3．3．1 抛物线及其标准方程 【题型归纳目录】 题型一：抛物线的定义 题型二：抛物线的标准方程 题型三：轨迹方程—抛物线 题型四：抛物线距离和与差的最值问题 题型五：抛物线的实际应用 【知识点梳理】 知识点一、抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 知识点诠释： （1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值 （2）定义中的隐含条件：焦点不在准线上，若在上，抛物线变为过且垂直与的一条直线． （3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化． 知识点二、抛物线的标准方程 标准方程的推导 如图，以过F且垂直于的直线为x轴，垂足为K．以F，K的中点O为坐标原点建立直角坐标系． 设（），那么焦点F的坐标为，准线l的方程为． 设点是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是集合 ， 将上式两边平方并化简，得．① 方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是． 抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 ，，，． 知识点诠释： ①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下） ③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线的一次项的系数为，故其焦点坐标是． 一般情况归纳： 方程 图象的开口方向 焦点 准线 时开口向右 时开口向左 时开口向上 时开口向下 ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数．用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论． ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况． 【典型例题】 题型一：抛物线的定义 例1．（2023·全国·高二专题练习）抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（    ） A． B． C． D．0 例2．（2023·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校考阶段练习）若抛物线上的一点到它的焦点的距离为10，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 例3．（2023·全国·高二专题练习）抛物线：过点，则的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D．1 变式1．（2023·江西赣州·高二江西省龙南中学校考期末）抛物线上一点的纵坐标为2，则点与抛物线焦点的距离为（    ） A．2 B． C．3 D．4 变式2．（2023·全国·高二专题练习）若抛物线上的一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为（    ） A． B．1 C．2 D．3 变式3．（2023·高二课时练习）有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD，按图中所示的方法进行折叠，使折叠后的点B落在边AD上，此时将B记为B′（注：图中EF为折痕，点F也可能落在边CD上）．过点B′ 作B′T∥CD交EF于点T，则点T的轨迹是以下哪种曲线的一部分（　　）    A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线 变式4．（2023·全国·高二专题练习）动点满足方程，则点M的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 题型二：抛物线的标准方程 例4．（2023·浙江嘉兴·高二校考期中）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点是，则它的标准方程为 . 例5．（2023·高二课时练习）已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点，则该抛物线的标准方程为 ． 例6．（2023·高二课时练习）设抛物线（）的准线与直线的距离为3，则抛物线的标准方程为 ． 变式5．（2023·江苏淮安·高二统考期中）已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为 . 变式6．（2023·全国·高二专题练习）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是 . 变式7．（2023·全国·高二期中）求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线