13.4 课题学习：最短路径 学案 2023--2024学年人教版八年级数学上册

伊宁县教育教学研究室电子集体备课教案 备课日期： 2023 年 月 日 课题 13.4课题学习：最短路径（第一课时） 授课日期 教学内容 13.4课题学习：最短路径（第一课时） 课 时 1课时 教 学 目 标 1.会利用轴对称解决简单的最短路径问题; 2.会利用轴对称解决简单的周长最小问题; 3.体会轴对称变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． 本课在教材中的地位、作用 最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究. 本节课以数学史中的两个经典问题“将军饮马问题”“造桥选址”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称﹑平移等变化将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题． 教学重点 利用轴对称知识将最短路径问题的实际问题转化为“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”的问题. 教学难点 如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题. 教法学法 讲授法 合作探究法 教具学具准备 多媒体课件 三角尺 学科思政 新授课基本流程：预学导学、互助探究、分层提高、总结归纳、巩固反馈 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 个性化调整 预学导学 1.知识回顾 ⑴两点的所有连线中，线段最短； ⑵连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ⑶三角形三边的数量关系：三角形中两边之和大于第三边. 2.问题探究 实际问题转化为数学问题 今天我们借助“轴对称的知识”和“两点之间线段最短”一起来解决生活中的“最短路径问题”. 一步一步引导学生，将同侧的两点转化为异侧的两点，为问题的解决提供思路. 通过搭建台阶，为学生探究问题提供“脚手架”，将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题，渗透转化思想. 运用发散思维活跃思路，激发学生的学习热情。环环相扣，下一题都在第一题的基础上挖掘条件。 层层递进。引导学生大胆猜想，但不能只停留在表面，还要用严谨的数学思维一步步去证明猜想。 让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力. 追问3：回顾探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么来解决问题的？ 通过例题和变式练习，给学生强调等边三角行判定的应用 新课导入 活动1：:创设情境，引入新知 问题:如图，牧马人从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后回到B地．到河边什么地方饮马，可使马所走的路线全程最短？ 这是著名的 “将军饮马问题”． 你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 学生通过动手操作，在具体感知轴对称图形特征的基础上，抽象出轴对称图形的模型．学生将实际问题抽象为数学问题。 互助探究 分层提高 将问题2抽象为数学问题： 如图，点A，B 在直线l 的同侧，能不能在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小？ 活动2：大胆猜想，建立模型 （1）作点B 关于直线l 的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求． 学生若有困难，教师可作如下提示： 1、若点B与点A在直线异侧，如何在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小； 2、现在点B与点A在直线同侧，能否将点B移到l 的另一侧点B′处，且满足直线l上的任意一点C，都能保持CB= CB′ ? 3、你能根据轴对称的知识，找到（2）中符合条件的点B′吗？ 活动3：反思过程，验证新知 证明“最短作图”的正确性： 追问1 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 师生活动：学生独立思考，相互交流，师生共同完成证明过程. 证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′． 由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′，∴AC+BC=AC+ C B′=AB′，AC′+ C′B= AC′+ C′B′．又在△AB′C′中，AB′ ﹤AC′+B′C′，∴　AC+BC﹤AC′+BC′， 即AC +BC 最短． 活动4：集思广益，理解新知 追问2：证明AC +BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′(与点C不重合)？ 活动5：反思总结，归纳新知 【方法归纳】 1、在直线上求一点到两点和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点和另一点与直线的交点就是所求的点. 2、求两条线段和最小，关键是运用轴对称的知识将不在同一条直线上的两条线段转化到同一条直线上. 师生活动