第06讲 拓展一：数列求通项（7类热点题型讲练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第二册）

第06讲 拓展一：数列求通项 一、知识点归纳 知识点一：数列求通项（法、法） 1对于数列，前项和记为； ①；② 1- ②： 法归类 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知； 已知 角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 例子：已知求 2对于数列，前项积记为； ①；② ①②： 法归类 角度1：已知和的关系 角度1：用，得到 例子：的前项之积. 角度2：已知和的关系 角度1：用替换题目中 例子：已知数列的前n项积为，且. 知识点二：累加法（叠加法） 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 具体步骤： 将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得： = 整理得：= 知识点三：累乘法（叠乘法） 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 具体步骤： 将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得： 整理得： 知识点四：构造法 类型1： 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 标准模型：（为常数，）或（为常数，） 类型2：用“同除法”构造等差数列 （1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式. （2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式. （3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式. 知识点五：倒数法 用“倒数变换法”构造等差数列 类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） 知识点六：隔项等差数列 已知数列，满足， 则； （其中为常数）；或则称数列为隔项等差数列，其中： ①构成以为首项的等差数列，公差为； ②构成以为首项的等差数列，公差为； 知识点七：隔项等比数列 已知数列，满足， 则； （其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中： ①构成以为首项的等比数列，公比为； ②构成以为首项的等比数列，公比为； 二、题型精讲 题型01 法（用，得到） 1．（多选）（2023秋·吉林长春·高三校考阶段练习）设为数列的前项和，已知，，，，则（    ） A．是等比数列 B． C． D． 2．（2023秋·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考阶段练习）已知数列的前项和，的通项公式为 . 3．（2023秋·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）已知数列的前项和，．若是等差数列，则的通项公式为 ． 4．（2023秋·甘肃庆阳·高二校考阶段练习）已知各项均为正数的数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的前项和. 5．（2023秋·福建厦门·高三厦门大学附属科技中学校考阶段练习）已知各项为正的数列的前n项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，，，，…，依此类推，求的通项公式. 6．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知正项数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)将数列和数列中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求的前100项和. 题型02法（将题意中的用替换） 1．（多选）（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知数列的前n项和为，且满足，，则下列说法正确的是（    ） A．数列的前n项和为 B．数列的通项公式为 C．数列不是递增数列 D．数列为递增数列 2．（2023·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，且，，则 ． 3．（2023秋·贵州黔东南·高三天柱民族中学校联考阶段练习）已知正项数列的前项和为，且. (1)求； (2)设，数列的前项和为，证明：. 4．（2023春·河南许昌·高二统考期末）已知数列，，其前n项的和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)证明：． 5．（2023春·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中）设正项数列的前n项和为，且，当时，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，且，