第05讲 4.3.2等比数列的前n项和公式（7类热点题型讲练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第二册）

第05讲 4.3.2等比数列的前项和公式 课程标准 学习目标 ①掌握等比数列前n项和公式及求取思路，熟练掌握等比数列的五个量之间的关系并能由三求二，能用通项与和求通项。 ②会利用等比数列性质简化求和运算，会利用等比数列前n项和的函数特征求最值。 ③能处理与等比数列相关的综合问题。 能掌握等比数列的通项与前n项和的相关计算公式，能熟练处理与等比数列的相关量之间的关系，用函数的思想解决等比数列的相关问题，会利用等比数列的性质灵活解决与之相关的问题 知识点01：等比数列前项和公式 若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和 【即学即练1】（2023春·海南儋州·高二校考期中）在等比数列{an}中， (1)已知，求前4项和； (2)已知公比，前5项和，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设公比为，由， 得，所以， 所以； （2）由，得， 所以. 知识点02:等比数列前项和的性质 公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类: (1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 (2)当是偶数时, ;当是奇数时, (3) 【即学即练2】（2023秋·山东枣庄·高二枣庄八中校考期末）已知等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于是等比数列，所以也成等比数列， 其中，所以， 所以. 故选：A 知识点03：错位相减法求数列的和 推导等比数列前项和的方法叫做错位相减法,一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项的积所构成的数列的前项和. 题型01等比数列前项和的基本量计算 【典例1】（2023·全国·高二随堂练习）求下列等比数列的前n项和． (1)，，； (2)，，； (3)，，； (4)，，． 【典例2】（2023·全国·高二随堂练习）已知数列为等比数列，前n项和为． (1)如果，，求； (2)如果，，求q； (3)如果，，求． 【变式1】（2023春·广东深圳·高二深圳第三高中校考期中）已知等比数列的前项和. (1)求实数的值； (2)若，求. 【变式2】（2023·全国·高二课堂例题）已知数列是等比数列. (1)若，，求； (2)若，，，求； (3)若，，，求n. 题型02等比数列前项和的片段和性质 【典例1】（2023秋·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B．9 C．16 D．17 【典例2】（2023秋·辽宁·高三校联考开学考试）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A．20 B．30 C．35 D．40 【变式2】（2023春·贵州黔南·高二统考期末）已知等比数列的前n项和为．若，则（    ） A．13 B．16 C．9 D．12 题型03等比数列奇、偶项和的性质 【典例1】（2023春·高二课时练习）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·全国·高二专题练习）已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为 ． 【典例3】（2023春·高二课时练习）在等比数列中，若，且公比，则数列的前100项和为 ． 【变式1】（2023春·高二课时练习）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（    ） A． B．2 C． D． 【变式2】（2023春·高二课时练习）已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【变式3】（2023·全国·高二专题练习）已知等比数列中，，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4】（2023·全国·高二随堂练习）在等比数列中，，，求的值. 题型04分组求和法求数列的前项和 【典例1】（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知数列满足:. (1)证明:是等比数列; (2)求数列的前项和. 【典例2】（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知数列的首项为，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求满足条件的最大整数. 【变式1】（2023秋·河南周口·高三校联考阶段练习）已知数列满足，且为等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)求满足的最大整数. 【变式2】（2023春·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中）已知等比数列中，， (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 题型05错位相减法求数列的前项和 【典例1】（20