第04讲 4.3.1等比数列的概念（6类热点题型讲练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第二册）

第04讲 4.3.1等比数列的概念 课程标准 学习目标 ①理解等比数列的定义.会推导等比数列的通项公式，能运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题.掌握等比中项的概念。 ②能根据等比数列的定义推出等比数列的常用性质.能运用等比数列的性质解决有关问题.。 能应用等比数列的定义判断等比数列，会应用等比数列的通项公式进行基本量的求解，能应用等比数列的性质解决与等比数列相关的问题 知识点01：等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示() 符号语言（或者）(为常数，，) 知识点02：等比中项 如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项⇔，，成等比数列⇔. 【即学即练1】（2023秋·福建漳州·高二校考阶段练习）在等比数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，∴． 故选：D 知识点03：等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列的第项有公式.这就是等比数列的通项公式，其中为首项，为公比． 知识点04：等比数列的单调性 已知等比数列的首项为，公比为 1、当或时，等比数列为递增数列； 2、当或时，等比数列为递减数列； 3、当时，等比数列为常数列（） 4、当时，等比数列为摆动数列. 【即学即练2】（2023春·高二课时练习）已知为等比数列，则“”是“为递增数列”的（    ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【详解】当公比且时，，，此时，，不递增，充分性不成立， 当等比数列为递增数列时，，显然必要性成立. 综上所述：“”是“为递增数列”的必要而不充分条件. 故选：A 知识点05：等比数列的判断（证明） 1、定义：（或者）（可判断，可证明） 2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明） 3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断） 知识点06：等比数列常用性质 设数列是等比数列，是其前项和． （1） (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为(). (4)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列． 【即学即练3】（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）在等比数列中，若，则的公比（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】是等比数列， 依题意，，所以. 故选：B 题型01 等比数列通项公式的应用 【典例1】（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）记为数列的前项和，且，则 . 【典例2】（2023春·北京东城·高二统考期末）已知数列的首项，且，那么 ；数列的通项公式为 . 【典例3】（2023·全国·高二课堂例题）已知数列是公比为q的等比数列． (1)若，，求的通项公式； (2)若，，，求n． 【变式1】（2023春·江苏南通·高二期末）已知数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·西藏日喀则·统考一模）已知各项均为正数的等比数列满足，且，则 【变式3】（2023秋·高二课时练习）在等比数列中， (1)已知，，求； (2)已知，，，求； (3)已知，，求； (4)已知，，求． 题型02等比中项 【典例1】（2023秋·江苏宿迁·高三校考阶段练习）在等比数列中，，是方程的两根，则（    ） A． B． C．或 D． 【典例2】（2023·全国·高二随堂练习）若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项． (1)求45和80的等比中项； (2)已知两个数和的等比中项是2k，求k． 【变式1】（2023秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知等差数列的公差不为0，若，，成等比数列，则这个等比数列的公比是（    ） A． B． C．2 D．4 【变式2】（2023春·河南信阳·高二信阳高中校考阶段练习）已知数列是等比数列，函数的零点分别是，则（    ） A．2 B． C． D． 题型03等比数列的判断与证明 【典例1】（2023·全国·高二专题练习）如果数列是等比数列，那么（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 【典例2】（2023·高二课时练习）函数（为常数，且），数列是首项为4，公差为2的等差数列，求证：数列是等比数列． 【典例3】（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，且，求的通项公式． 【变式1】（2023·全国·高二专题练习）在数列中，，． (1)求证：是