第03讲 4.2.2等差数列的前n项和公式（10类热点题型讲练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第二册）

第03讲 4.2.2等差数列的前项和公式 课程标准 学习目标 ①掌握等差数列前n项和公式及求取思路，熟练掌握等差数列的五个量之间的关系并能由三求二，能用通项与和求通项。 ②会利用等差数列性质简化求和运算，会利用等差数列前n项和的函数特征求最值。 ③能处理与等差数列相关的综合问题。 能掌握等差数列的通项与前n项和的相关计算公式，能熟练处理与等差数列的相关量之间的关系，用函数的思想解决数列的最大（小）项、和的最大（小）值问题，会利用等差数列的性质灵活解决与之相关的问题 知识点01：等差数列的前项和公式 1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式 2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式 【即学即练1】（2023秋·高二课时练习）已知数列均为等差数列． (1)设，，求； (2)设，，求； (3)设，求． 【答案】(1)260 (2)21.7 (3)49 【详解】（1）依题意，． （2），于是，从而. （3）设公差为，则，，于是， 所以． 知识点02：等差数列前项和公式的函数特征 等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为(，为常数)． 知识点03：等差数列前项和性质 (1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 (2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 (3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 (4)若等差数列的项数为,则 ，。 (5)若等差数列的项数为,则，，， 【即学即练2】（2023春·云南曲靖·高二统考期末）等差数列的前项和为，若，，则 ． 【答案】15 【详解】设，由等差数列的性质可得， 又，则，解得． 故答案为：15 题型01等差数列前项和的基本量计算 【典例1】（2023秋·天津和平·高三天津市第二十一中学校考阶段练习）等差数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求n. 【典例2】（2023·全国·高二随堂练习）已知数列为等差数列，前n项和为，求解下列问题： (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，，求n． 【变式1】（2023·全国·高二随堂练习）一个物体第1s下落4.90m，以后每秒比前一秒多下落9.80m． (1)如果它从山顶下落，经过5s到达地面，那么这山的高度是多少米？ (2)如果它从1960m的高空下落到地面，要经过多长时间？ 【变式2】（2023·全国·高二课堂例题）已知数列是等差数列． (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，，求n． 题型02利用等差数列前项和公式判断 【典例1】（2023春·湖北十堰·高二校联考阶段练习）设数列的前项和为，点均在函数的图象上，则数列的通项公式 ． 【典例2】（2023春·高二课时练习）已知一个数列的前项和． (1)当时，求证：该数列是等差数列； (2)若数列是等差数列，求满足条件． 【变式1】（2023秋·重庆九龙坡·高二重庆市渝高中学校校考期末）已知数列的前项和. （1）求证：是等差数列； 【变式2】（2023·高二课时练习）已知数列的前n项和 求数列的通项公式； 求证：数列是等差数列． 题型03等差数列片段和性质 【典例1】（2023秋·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）设等差数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2023·全国·高二专题练习）等差数列的前n项和，若，则（    ） A．10 B．20 C．30 D．15 【变式1】（2023秋·天津河东·高三天津市第四十五中学校考阶段练习）在等差数列中，已知，，则（    ） A．90 B．40 C．50 D．60 【变式2】（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2023秋·上海闵行·高二校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，满足，，则 . 题型04比值问题（含同角标和不同角标） 【典例1】（2023秋·天津武清·高三天津市武清区城关中学校考阶段练习）等差数列的前项和分别是与，且，则 . 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列、的前项和分别为、，若对任意的，都有，则 ． 【典例3】（2023春·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）已知等差数列和的前项和为分别为和，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023春·辽宁阜新·高二校考期中）已知等差数列的前n项和为，等差数列的前n项和为，且，求 . 【变式2】（2023春·湖北·