第02讲 4.2.1等差数列的概念（10类热点题型讲练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第二册）

第02讲 4.2.1等差数列的概念 课程标准 学习目标 ①理解等差数列的定义.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.掌握等差中项的概念。 ②能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.能运用等差数列的性质解决有关问题。 能应用等差数列的定义判断等差数列，会应用等差数列的通项公式进行基本量的求解，能应用等差数列的性质解决与等差数列相关的问题 知识点01：等差数列的有关概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示． 知识点02：等差中项 由三个数，,组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, 叫做与的等差中项.这三个数满足关系式 . 【即学即练1】（2023春·江西吉安·高二吉安三中校考期末）两个数的等差中项是（　　） A． B． C．5 D．4 【答案】C 【详解】两个数的等差中项为. 故选：C． 知识点03：等差数列的通项公式 首项为,公差为的等差数列的通项公式为 . (1)等差数列的通项公式是关于三个基本量,和的表达式,所以由首项和公差可以求出数列中的任意一项. (2)等差数列的通项公式可以推广为,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项. 【即学即练2】（2023·全国·高二随堂练习）观察图，写出点数所成数列的一个通项公式．    【答案】 【详解】由图可知，图中点数依次增加3，所以该题满足等差数列， 且首项，公差， 所以. 知识点04：等差数列与一次函数 等差数列 一次函数 表达式： 不同点 ①定义域*. ②图象是一系列均匀分布在同一直线上的孤立的点. ①定义域为. ②图象是一条直线. 相同点 ①当时,等差数列的通项公式与一次函数的 解析式都是关于自变量的一次式. ②等差数列中的,,,四个量中知三求一和 一次函数中求,的方法都是解方程(组). 知识点05：等差数列的单调性 ①当，等差数列为递增数列 ②当，等差数列为递减数列 ③当，等差数列为常数列 【即学即练3】（2023·全国·高二课堂例题）已知，是等差数列的图象上的两点． (1)求数列的通项公式； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)为递减数列． 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d． 因为，是等差数列的图象上的两点， 所以，，即，解得． 因此，． （2）等差数列的图象是均匀分布在直线上的一系列离散的点，如下图所示：    （3）因为公差，所以等差数列为递减数列． 知识点06：等差数列的四种判断方法 (1)定义法（或者）(是常数)是等差数列． (2)等差中项法： ()是等差数列． (3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） (4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 知识点07：等差数列的性质 ① ②若，则（特别的，当，有） ③若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为 . ④若是公差为的等差数列,则，，,…()组成公差为 的等差数列. ⑤若数列为等差数列,公差为,则(为常数)是公差为的等差数列. ⑥若,分别是以,为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列. 【即学即练4】（2023·陕西咸阳·咸阳彩虹学校校考模拟预测）若等差数列中，，则 ． 【答案】6 【详解】由等差数列下标和性质可知，，得， 所以. 故答案为：6 题型01等差数列的判定 【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，.若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．2022 【典例2】（2023秋·高二课时练习）已知数列的前项和为，求证：数列是等差数列． 【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，证明：为等差数列. 【变式1】（多选）（2023秋·江苏徐州·高三校考阶段练习）设数列的前项和为，则下列能判断数列是等差数列的是（    ） A． B． C． D．． 【变式2】（2023秋·高二课时练习）已知数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等差数列． 题型02 等差数列的通项公式及其应用 【典例1】（2023秋·河南三门峡·高二统考期末）若数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023春·河北廊坊·高二校联考开学考试）已知数列满足，，则 ． 【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且.证明：数列是等差数列，并求的通项公式. 【变式1】（2023春·北京·高二北