第01讲 4.1数列的概念（8类热点题型讲练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第二册）

第01讲 4.1数列的概念 课程标准 学习目标 ①了解数列的有关概念（项、项的表示）。 ②了解数列的表示方法（列表、图象、通项公式）。 ③了解数列是特殊的函数。 会依据若干项求通项公式或某一项，能利用递推公式求解数列中的项或通项公式，并能借助数列的单调性求数列的最大项与最小项。 知识点01：数列的概念 1、数列的概念 一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示……第个位置上的数叫做这个数列的第项,用表示.其中第1项也叫做首项. 数列的一般形式是,,…,,…,简记为. 2、数列与函数的关系 由于数列中的每一项与它的序号有下面的对应关系： 所以数列是从正整数集（或它的有限子集{1，2，…，}）到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为. 也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值，，…，，…就是数列. 另一方面，对于函数，如果（）有意义，那么，，…，，…构成了一个数列. 知识点02:数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 其中 递减数列 常数列 【即学即练1】（2023春·新疆塔城·高二塔城市第三中学校考阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．数列与数列是相同的数列 B．数列0，2，4，6，8，…，可记为， C．数列的第项为 D．数列既是递增数列又是无穷数列 【答案】C 【详解】对于A：数列是有顺序的一列数，故A错误； 对于B：当时，，不符合，故B错误； 对于C：数列的第项为，故C正确； 对于D：数列的最后一项为，是有穷数列，故D错误； 故选：C. 知识点03：数列的通项公式 如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 知识点04：数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 知识点05：数列的性质 1、数列的单调性 若数列满足对一切正整数，都有（或者），则称数列为递增数列（递减数列）； ①求数列中最大项方法：当时，则是数列最大项； ②求数列中最小项方法：当时，则是数列最小项； 【即学即练2】（2023春·湖北·高二校联考期中）下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，B选项对应数列是递减数列．对于C选项，，故数列是递增数列．对于D选项，由于．所以数列不是递增数列． 故选：C. 2、数列的周期性 一般地，若数列满足存在正整数使得对一切正整数都成立，则称数列为周期数列，叫做数列的周期. 知识点06：数列的前项和 1、数列前项和的概念 我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即 2、数列前项和与通项的关系 当时， 当时， 用 化简得： 所以： 【即学即练3】（2023春·上海浦东新·高一华师大二附中校考期末）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式 ． 【答案】 【详解】由题知，， 则， ， 又，符合上式， 所以. 故答案为： 题型01数列的概念及分类 【典例1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）下列结论正确的是（    ） A．数列1，2，3与3，2，1是两个不同的数列． B．任何一个数列不是递增数列，就是递减数列． C．若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点． D．若数列的前n项和为，则对任意，都有. 【典例2】（2023秋·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列 C．数列的第k项为 D．数列0，2，4，6，可记为 【典例3】（2023·全国·高二专题练习）已知函数，设，则下列说法中错误的是（    ） A．是无穷数列 B．是递增数列 C．不是常数列 D．中有最大项 【变式1】（2023·高二课时练习）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　) A．－1，－2，－3，－4，… B．－1，－，－，－，… C．－1，－2，－4，－8，… D．1，，，，…， 【变式2】（2023秋·福建漳州·高二校考阶段练习）已知，则数列是（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不确定 【变式3】（2023春·高二校考课时练习）下列叙述不正确的是（    ） A．1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列 B．1，3，1，3，…是常