3.3.1抛物线及其标准方程 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

抛物线及其标准方程 我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征： 都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹. · M F l 0＜e ＜1 (2) 当e＞1时，是双曲线; (1)当0<e<1时,是椭圆; (其中定点不在定直线上) l F · M e＞1 那么,当e=1时，它又是什么曲线 · F M l · e=1 新课引入 2 知识要点1 平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点F叫做抛物线的焦点。 定直线l叫做抛物线的准线。 1、定义 · · F M l H 基础知识 2、抛物线的标准方程 · F M l H （1）建系 O K x y 如图，以直线l的垂线KF为x轴， 以线段KF的中点O为原点建立直角坐标系 （2）设点 设点M的坐标为(x，y)，|KF|=p(p>0) 基础知识 · · F M l H · O K x y y2=2px(p>0) 上述方程表示焦点在x轴的正半轴， 对称轴为x轴的一条抛物线， 其中，p表示焦点到准线的距离， 2、抛物线的标准方程 基础知识 标准方程与图形： 图形 方程 焦点 准线 l F y x O l F y x O l F y x O l F y x O y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py F(- - ﹣ ﹣ 一次定焦点，正负定方向 基础知识 【例1】求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20x （2）y=2x2 （3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0 思考：你能说明二次函数y=ax2(a≠0)的图象为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程. 例题分析 ∵∴. 【例2】求满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点为(0，-2)； （2）准线为y=-1； （3）焦点到准线的距离为4； （1）x2=-8y （2）x2=4y （3）y2=±8x或x2=±8y 例题分析 【例3】求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。 ． A O y x 解：若焦点在y轴的正半轴， 则可设抛物线的标准方程为 x2 =2py（p>0） 若焦点在x轴的负半轴， 则可设抛物线的标准方程为 y2 =-2px（p>0） 例题分析 【例4】(1)抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标为____. 例题分析 (2)抛物线y2=2px（p>0)上一点M到焦点的距离是a（a>p/2),则M到准线的距离是___,M的横坐标是___. x2=8y x y P O 针对练习 y2=8x x y A 2 M x=-1 x=-2 例题分析 【例6】已知定点A(3，2)和抛物线y2=2x， F是抛物线的焦点，试在抛物线上找一点P，使|PA|+|PF|最小，并求出这个最小值。 例题分析 【例6】已知定点A(3，2)和抛物线y2=2x， F是抛物线的焦点，试在抛物线上找一点P，使|PA|+|PF|最小，并求出这个最小值。 F x y O A N P P N 例题分析 例题分析 变式 AB为抛物线 上的动弦，且|AB|=a (a为常数， )， 求弦AB的中点M与X轴的最近距离 3、若抛物线y2=8x上一点M到原点的距离等于点M 到准线的距离，则点M的坐标是____________. C B 课堂练习 14 y2=±4x 课堂练习 1、定义： 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点 的轨迹叫做抛物线。 2、标准方程与图形： 图形 方程 焦点 准线 l F y x O l F y x O l F y x O l F y x O y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py F(- - - - 课堂小结 例5 若一动圆过点P（0，2）且与直线 相切，则该动圆圆心的轨迹方程是_______； 变式 已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0 和y轴的距离之和的最小值是________. D 解析：由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)． 设点P到直线l的距离为d， 由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1， 所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1. 易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离， 故d＋|PF|的最小值为eq \f(|2＋3|,\r(22＋－12))＝eq \r(5)， 所以d＋|PF|－1的最