广东省深圳实验中学2023-2024学年高二上学期期中数学模拟试题

2023-2024学年广东省深圳实验中学高二上学期期中模拟 数学试题 考试范围：空间向量与立体几何、直线与圆的方程、圆锥曲线的方程 2023.11 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知方程，其中．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题： 甲：可以是圆的方程；    乙：可以是抛物线的方程； 丙：可以是椭圆的标准方程；    丁：可以是双曲线的标准方程． 其中，真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．从点射出的光线沿与向量平行的直线射到轴上，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知点，，若点在线段AB上，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 4．若圆：上的任意一点关于直线：对称的点仍在圆上，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知，点P为直线上的一点，点Q为圆上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知直线l的方向向量为，点在l上，则点到l的距离为（    ） A． B．1 C．3 D．2 7．已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知直线，则（    ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线之间的距离为1 10．设圆，过点的直线与C交于两点，则下列结论正确的为（    ） A．P可能为中点 B．的最小值为3 C．若，则的方程为 D．的面积最大值为 11．如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（    ）    A． B．点E到直线的距离为 C．直线与平面所成的角的正弦值为 D．点到平面的距离为 12．已知，分别为双曲线的左、右焦点，M为C的右顶点，过的直线与C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设点P，Q分别为，的内心，R，r分别为，内切圆的半径，则（    ） A．点M在直线PQ上 B．点M在直线PQ的左侧 C． D． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为 .    14．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若的中点的纵坐标为2，则等于 ． 15．已知、分别为椭圆的左、右焦点，是过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点，则的最大值为 ． 16．已知双曲线，过原点的直线l与双曲线交于B，C两点，A为双曲线的右顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB，AC的斜率之积为，则b＝ ；若，则的面积为 . 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 已知点，求 (1)过点A，B且周长最小的圆的标准方程； (2)过点A，B且圆心在直线上的圆的标准方程. 18．（本小题满分12分） 直线，相交于点，其中. (1)求证：、分别过定点、，并求点、的坐标； (2)当为何值时，的面积取得最大值，并求出最大值. 19．（本小题满分12分） 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 20．（本小题满分12分） 已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，抛物线C过点． (1)求抛物线C的标准方程； (2)已知直线l与抛物线C交于A，B两点，且，证明：直线l过定点． 21．（本小题满分12分） 如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 22．已知椭圆：的离心率为，椭圆的短轴长等于4． (1)求椭圆的标准方程； (2)设，，过且斜率为的动直线与椭圆交于，两点，直线，分别交：于异于点的点，，设直线的斜率为，直线，的斜率分别为． ①求证：为定值； ②求证：直线过定点. 参考答案： 1．C 【详解】因为方程，其中， 所以当时，方程为，即是圆的方程，故方程可以是圆的方程； 当时，方程为，即是抛物线的方程，故方程可以是抛物线的方程； 当时，方程为，即是椭圆的标准方程，故方程可以是椭圆的标准方程； 若方程为双曲线的标准方程，则有，这与矛盾，故方程不可以是双曲线的标准方程； 所以真命题有3个. 2．