基本不等式 专题练习-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

基本不等式复习 公式：__________________________________（一正二定三相等） Key：看到两个正数相加，可以尝试套用基本不等式得到乘积结构。 【公式理解1】【湖北省新高考联考协作体2022-2023学年高一上10月月考】21. 已知为正实数，且. （1）求的最大值； （2）是否存在，使得的值为？并说明理由. Key：遇到分数时可以首选把它们凑成互为“倒数”乘积可约的结构。 【公式理解2】【深圳市深圳外国语学校2022-2023学年高一上学期第一次月考】7. 已知x，y为正实数，则的最小值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【变式1】【深圳实验学校高中部2022-2023学年高一上学期一段考】4. 若实数满足，则的最小值为 A. B. 2 C. D. 4 【变式2】【襄阳五中2022-2023学年高一上学期12月】14. 函数的最小值是______． *注意验证等号成立的时候是否有解。 【题型一】凑“和定”“积定” Key：1.“积定”一般用加减一个常数的方法； 2.“和定”一般乘除一个数使得两数相加为定值。 【例题1】1.已知x>3,求的最小值； 2.已知x>0,，y>0，x+2y=1，求xy的最大值。 【基础过关】 1. 已知x>-1,求的最小值； 2. 已知0<x<，求x(1-2x)的最大值; 3. 已知x<1,求x+的最大值； 4. 已知x>0，y>0，2x+y=1，求2xy、的最大值。 【变式1】【广州市华南师范大学附属中学2022-2023学年高一上学期期末】9. 下列命题中正确的是（ ） A. 时，的最小值是2 B. 存在实数，使得不等式成立 C. 若，则 D. 若，且，则 【变式2】【广州市六区2022-2023学年高一上学期期末】6. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 【题型二】“1”的妙用 Key：法①乘“1”，构造互为类似倒数的结构，凑“积定”； 法②代换分子上的数字，也能凑出类似倒数的结构，有“积定”； 【例题2】（1）已知x>0，y>0，2x+y=1，求的最小值； Q：如果2x+y=2呢？ （2） 已知x>0，y>0， =1，求2x+y的最小值； （3） 已知x>0，y>0，x+2y=xy，求2x+y的最小值。 【例题3】已知x>0，y>0，2x+y=1，求的最小值。 【基础过关】 1. 已知x>0，y>0，x+2y=4，求的最小值； 2. 已知x>0，y>0，x+2y=4xy，求x+2y的最小值； 3. 已知x>0，y>0，x+2y=4，求的最小值。 【拓展提升】（重点高中会讲） 权方和不等式：已知a>0,b>0,x>0,y>0，，当且仅当时等号成立。 速记方法：底相加，分子的根相加再平方。 （用权方和公式把例题2和练习重做一遍，可自行感受两种方法哪个更适合自己） *例题3需要先把分子的字母消元处理后，也可以使用权方和，代换更简洁一点。 区别：使用“1”的代换要让式子的分子不含数字，使用权方和分子不能有字母！ 【变式1】【浙江省金华市2022-2023学年高一上学期期中】15. 已知，且，则的最小值是___________. 【变式2】【深外高中园2022-2023学年高一上学期学段（三）】16. 若正实数a，b满足，则的最小值为_______． 【变式3】 【襄阳五中2022-2023学年高一上学期12月】11. 已知，.若，则（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为9 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【下次课前回顾】 【浙江省金华市2022-2023学年高一上学期期中】6. 正数，满足，则的最小值为（ ）． A. 4 B. 7 C. 8 D. 9 基本不等式复习2 【题型一】和与平方和 基本不等式推论：____________________________ 【例题1】【襄阳四中2022级高一（上）数学期末】10. 已知x>0，y>0，且2x+y=2，则下列说法中正确的（ ） A. xy的最大值为 B. 4x2+y2的最大值为2 C. 4x+2y的最小值为4 D. 的最小值为4 【变式1】【湖北省新高考联考协作体2022-2023学年高一上10月月考】12. 若，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【变式2】【深圳市深圳外国语学校2022-2023学年高一上学期第一次月考】11. 若正实数满足，则下列说法正确是（ ） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小