第01讲 反比例函数、定义图像与性质（知识解读+真题演练+课后巩固）-2023-2024学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（人教版）

第01讲 反比例函数、定义图像与性质 1. 理解反比例函数的概念和意义； 2.掌握反比例的图像和性质，并能解决相关问题 知识1 反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 注意： （1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点.　（2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 知识点2 反比例的图像和性质 1、 反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 注意： （1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴． 2、画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 注意： （1）反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. （2）反比例的图像关于原点的对称 【题型1 反比例函数的定义】 【典例1】（2023春•东台市期中）下列函数中，是反比例函数的为（　　） A．y＝2x+1 B．y＝ C．y＝ D．2y＝x 【变式1-1】（2023春•邗江区期末）下列式子中，表示y是x的反比例函数的是（　　） A．xy＝1 B．y＝ C．y＝ D．y＝ 【变式1-2】（2022秋•怀化期末）下列函数不是反比例函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝﹣ C．xy＝5 D．y＝ 【典例2】（2022秋•岳阳县期末）若函数y＝（m+4）x|m|﹣5是反比例函数，则m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．4或﹣4 D．0 【变式2-1】】（2022秋•惠来县期末）函数y＝xk﹣1是反比例函数，则k＝（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式2-2】（2022秋•邯山区校级期末）若y＝x2m+1为关于x的反比例函数，则m的值是（　　） A．0 B．﹣1 C．0.5 D．1 【变式2-3】（2023•雁峰区校级一模）若函数y＝（n﹣2）是反比例函数，则n为（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．以上都不对 【题型2 反比例函数系数K的几何意义】 【典例3】（2023•和平区校级三模）如图，点A在双曲线上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积S△AOB＝2，则k的值为（　　） A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4 【变式3-1】（2022秋•怀化期末）如图，点A在双曲线y＝上，AB⊥y轴于B，S△AOB＝3，则k＝（　　） A．3 B．6 C．18 D．不能确定 【变式3-2】（2023•海州区校级二模）若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为2的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023春•高新区期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x 轴于点A，交C2于点B，已知△POB 的面积为4，则k的值为（　　） ​ A．16 B．14 C．12 D．10 【题型3 反比例函数的图像】 【典例4】（2022秋•南华县期末）反比例函数与一次函数y＝kx+1在同一坐标系的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（2022