专题17 相似三角形培优训练2（精选翻折旋转存在性问题30道）-2023-2024学年九年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（浙教版）

专题17 相似三角形培优训练2 精选翻折旋转存在性问题30道 【类型一 翻折问题】 1．在矩形的边上取一点E，将沿翻折，使点C恰好落在边上的点F处． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，当，且时，求的长； (3)如图③，延长，与的角平分线交于点M，交于点N，当时，请直接写出的值． 2．（1）发现：如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点，求证：； （2）探究：如图②，在矩形中，为边上一点，且，，将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长． （3）拓展：如图③，在菱形中，，为边上的三等分点，．将沿翻折得到，直线交于点，求的长．    3．如图，在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处． (1)求证：； (2)若，，求的长． (3)当点是线段的中点时，求证：． 4．在中，，，，点是线段上一动点，连接．    (1)如图1，若，求的面积； (2)如图2，若，以为边在下方作等腰，，连接，若点是线段中点，过作于点的延长线交于点，求证：； (3)如图3将沿翻折．连接，是线段上一点，且，直接写出当取得最小值时的面积． 5．如图点是正方形中边上一点，将沿翻折得到，使点落在点处，延长与边交于点，直线与交于点．    (1)如图①，求证：； (2)如图②，若直线与的延长线交于点求证：； (3)如图③，若直线与、的延长线分别交于点、，交于点求证：． 6．综合与实践：数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．    转一转：如图1，在矩形中，点，，分别为边，，的中点，连接，，为的中点，连接．将绕点旋转，线段，和的位置和长度也随之变化． （1）如图2中，，此时点落在的延长线上，点落在线段上，连接，请直接写出与之间的数量关系：_______． （2）如图3中，，，求的值． 剪一剪，折一折：（3）在（2）的条件下，连接图3中矩形的对角线，并沿对角线剪开，得到（如图4）．点，分别在，上，连接，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上，若平分，则的长为________． 7．如图，在正方形中，点在边上，点在边上．将四边形沿直线翻折，得到四边形，顶点落在边上的点（不与点、重合）处，点落在正方形右侧的点处，与相交于点． （1）在图1中，若，，则______，的度数为____________ （2）当时，如图2，求证：． （3）利用图3探究，当正方形边长不变时，随着折痕的变化，的周长是否会发生变化？如果会，请说明变化规律；如果不会，请加以证明，并探究正方形周长与的周长的关系．      8．如图1，等边中，点在上，点在上，连接，交于点，．    (1)求的度数； (2)如图2，连接，若，求证：；    (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折交于点，过点作的垂线交直线于点，若，求的长．    9．在正方形中，E为边上不与A，B重合的一点，连接，将沿直线翻折得到，连接并延长交的延长线于点G，连接，．    (1)求的度数； (2)求的值； (3)当为边长为3的等边三角形时，求的长． 10．如图①，在四边形中，，，．    (1)求的度数； (2)如图②，为线段的中点，连接，求证：； (3)如图③，若，线段上有一动点，连接，将沿所在直线翻折至的位置，为的对应点，连接，，请直接写出的最小值． 【类型二 旋转问题】 11．如图，四边形与四边形都是正方形，将正方形绕点B按顺时针方向旋转，连接．    (1)求证：； (2)在正方形绕点B按顺时针方向旋转的过程中，的值是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由． 12．如图，和是有公共顶点的直角三角形，，点P为射线的交点．    (1)如图1，若和是等腰直角三角形，求证：； (2)如图2，若，（1）中结论是否还成立？请说明理由； (3)在（1）的条件下，，若把绕点A旋转，当时，请直接写出的长度． 13．如图，正方形中，对角线，相交于点，，过点作，连接交边于点，以为边向上作正方形，连接．      (1)求证： ； (2)当时，求正方形的边长； (3)将正方形绕点逆时针旋转，旋转后的正方形记为（点，，的对应点分别记为点，，，设边与边的交点为点，连接，当，且时，直接写出的长． 14．已知，和都是等边三角形．    (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，若点D，E，C在一条直线上，点D，E在边的上方，与交于点F，，，求的值． (3)将绕点B沿顺时针方向旋转，使点D在上，过点D作，与直线交于点F，若，直接写出的度数． 15．如图1，在中，，，过点A作直线，过点B，C分别作直线l的垂线，垂足分别为点E，D．    操作探究：