专题16 相似三角形培优训练1（精选最值和定值问题40道）-2023-2024学年九年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（浙教版）

专题16 相似三角形培优训练1 精选最值和定值问题40道 【类型一 最值问题】 1．正方形和正方形有公共顶点． (1)如图，点、、三点共线，若，，点为的中点，则的长为______ ； (2)将正方形绕点顺时针旋转至如图所示的位置，连接、，求证：； (3)在（1）的条件下，将正方形绕点旋转一周的过程中，的最小值是______ ，此时，的度数为______ ． 2．在中，，，，点是线段上一动点，连接．    (1)如图1，若，求的面积； (2)如图2，若，以为边在下方作等腰，，连接，若点是线段中点，过作于点的延长线交于点，求证：； (3)如图3将沿翻折．连接，是线段上一点，且，直接写出当取得最小值时的面积． 3．如图，已知中，，E是上的一点，，点D是线段上的一个动点，沿折叠，点C与重合，连接．    (1)求证：； (2)若点F是上一点，且，求的最小值． 4．在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，其中点、的对应点分别为点、．    (1)如图1，当点落在的延长线上时， 的长为 ； (2)如图，当点落在的延长线上时，连接 ，交 于点， 求线段 和的长； (3)如图，连接 ， ，直线 与直线 交于点，点在边上，且，连接，在旋转一周的过程中，的最小值为 ． 5．在和中，，且．    (1)如图1，若，证明：； (2)如图2，若，F为中点，，，证明：； (3)如图3，若，，，，平面内一点K使得，当最小时，请直接写出的最小值． 6．如图，正方形中，点E是边上一点，连结，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H，连结．    (1)写出和的数量关系，并证明． (2)求证： (3)连接，若正方形的边长为6，求出的最小值． 7．如图1，在矩形中，，．点是线段上的动点（点不与点，重合），连接，过点作，交于点．    (1)求证：； (2)如图2，连接，过点作，垂足为，连接．点是线段的中点，连接． ①求的最小值； ②当取最小值时，求线段的长． 8．【问题原型】华师版教材八年级下册第121页有这样一道题： 如图①，在正方形中，．求证：． 请你完成这一问题的证明过程．    【问题应用】如图，在正方形中，，E、F分别是边、上的点，且． （1）如图②，连接、交于点G，H为的中点，连接，．当E为的中点时，四边形的面积为______； （2）如阳③，连接、，当点E在边上运动时，的最小值为______． 9．如图1，已知等边，以B为直角顶点向右作等腰直角，连接．    (1)若，求点D到边的距离； (2)如图2，过点B作的垂线，分别交，于点E，F，求证：； (3)如图3，点M，N分别为线段，上一点，，连接，，若，当取得最小值时，直接写出的面积． 10．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作平行四边形，如图所示．    (1)证明平行四边形是菱形； (2)如图2所示，，，，是的中点，连接，，求的长． (3)如图3所示，若，，，线段与交于点，点是线段上的一个动点，连接，，直接写出的最小值，并写出此时的值． 11．如图，在中，是边上的中线，点E是的中点．过点A作交的延长线于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论； (3)在（2）的情况下，如果，点M在线段上移动，当有最小值时，求的长度． 12．如图，在边长为的正方形中，点，分别是边，上的点，连接，将左侧的图形沿折叠，点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，交于    (1)如图，连接．试判断线段与的数量关系，并证明； (2)设，，求与之间的数量关系，并求当时，的值； (3)连接，求的最小值． 13．如图①，在四边形中，，，．    (1)求的度数； (2)如图②，为线段的中点，连接，求证：； (3)如图③，若，线段上有一动点，连接，将沿所在直线翻折至的位置，为的对应点，连接，，请直接写出的最小值． 14．如图，在矩形中，点为上一点，过点作于点，连接交于点，点恰好为的中点．        (1)求证：； (2)如图1，若，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，点G、Q分别为、上的动点，若，请直接写出的最小值． 15．已知：中，，，点D为边上一动点，点D关于、的对称点分别为E、F，以、为邻边作，交边于H.    (1)是______（填特殊平行四边形的名称） (2)连接交于点O，求证：； (3)点D在上移动的过程中，求的最小值. 16．如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，．    (1)求证：； (2)若，，三点共线，如图2，连接，求线段的长． (3)求线段长的最小值． 17．如图，为等边三角形，点D为边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转角得线段，连接、，其中与交于点F．    (1)如图1，