专题15 相似与二次函数综合题分类训练（最值类存在性定值类精选30道）-2023-2024学年九年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（浙教版）

专题15 相似与二次函数综合题分类训练 （最值类存在性定值类精选30道） 【类型一 最值问题】 1．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点是线段上的一个动点，连结，在线段上取一点，使得． ①当点从点运动到点时，求点运动的路径长； ②点关于轴的对称点为点，连结，求的最小值． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，y与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)直接写出点A、B、C的坐标； (2)直接写出的重心点M的坐标； (3)坐标系中存在点，且，请你推导计算出n的值； (4)如图2．若点P在以点O为圆心，OA长为半径作的圆上，连接BP、CP，请你直接写出的最小值． 3．如图，二次函数的图像与x轴交于、两点，顶点为，连接、，若点是线段上一动点，连接BC，将△沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，且点与、点不重合． (1)求点、点的坐标； (2)求证：△∽△； (3)求的最小值； 4．已知抛物线经过点，它的对称轴为直线，且函数有最小值为． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线与x轴的交点为A，B（A在B左侧），与y轴的交点为C，点P在第四象限的抛物线上，连接交于点D，当的面积为面积的时，求出此时点P的坐标． (3)点Q是线段上的动点，直接写出的最小值． 5．如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C． (1)求直线的解析式； (2)连接，判断和的数量关系，并说明理由： (3)设点D为直线上方抛物线上一点（与A、C不重合），连，且交于点E，的面积记作，的面积记作，求的最小值． 6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，连接，其中， (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上一点，过点P作轴交于点E，作轴交于点F，求的最小值，及此时点P的坐标； (3)如图2，x轴上有一点，将抛物线向x轴正方向平移，使得抛物线恰好经过点Q，得到新抛物线，点D是新抛物线与原抛物线的交点，点E是新抛物线上一动点，连接，当是以为直角边的直角三角形时，直接写出所有符合条件的点E的坐标． 7．如图，抛物线：与轴交于，两点，且顶点为，直线经过，两点． (1)求直线的表达式与抛物线的表达式； (2)如图，将抛物线沿射线方向平移一定距离后，得到抛物线为，其顶点为，抛物线与直线的另一交点为，与轴交于，两点点在点右边，若，求点的坐标； (3)如图，若抛物线向上平移个单位得到抛物线，正方形的顶点，在轴上，顶点，在轴上方的抛物线上，是射线上一动点，则正方形的边长为______，当______时，有最小值______． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A(−1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是点C关于x轴的对称点． (1)求抛物线与直线BD的解析式； (2)点P为直线BC上方抛物线上一动点，当△BPC的面积最大时，求点P的坐标． (3)在（2）的条件下，当△BPC的面积最大时，在抛物线的对称轴上有一动点M，在BD上有一动点N，且MN⊥BD，求PM+MN的最小值； (4)点Q是对称轴上一动点，点R是平面内任意一点，当以B、C、Q、R为顶点的四边形为菱形时，直接写出点R的坐标． 9．如图1，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC下方抛物线上一动点，过点P作，交x轴于点E，连接OP交BC于点F． (1)直接写出点A，B，C的坐标以及抛物线的对称轴； (2)当点P在线段BC下方抛物线上运动时，求取到最小值时点P的坐标； (3)当点P在y轴右边抛物线上运动时，过点P作PE的垂线交抛物线对称轴于点G，是否存在点P，使以P、E、G为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，来出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，平面直角坐标系中，二次函数图像交x轴于点A、B，交y轴于点C，图像对称轴交x轴于点D．点P是线段OD上一动点，从O向D运动，H是射线BC上一点． (1)则点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，线段BC的长为 ； (2)如图1，在P点运动过程中，若△OPC中有一个内角等于∠HCA，求OP的长； (3)如图2，点在二次函数图像上，在P点开始运动的同时，点Q在抛物线对称轴上从D点向上运动，Q点运动速度是P点运动速度的2倍，连接QM，则的最小值为 ． 【类型二 存在性问题】 11．如图1，平面直角坐标系中，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．点M是线段上一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点E，交直线于点F． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)如图2，是否存在以点C、E、F为顶点的三角形与相似？若存在，求M点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图1，在平面直角