3.1.1 椭圆及其标准方程（六大题型）-2023-2024学年高二数学新教材同步配套培优讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

3.1.1 椭圆及其标准方程 【题型归纳目录】 题型一：椭圆的定义与标准方程 题型二：椭圆方程的充要条件 题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 题型四：椭圆上两点距离的最值问题 题型五：椭圆上两线段的和差最值问题 题型六：利用第一定义求解轨迹 【知识点梳理】 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数（），这个动点的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距． 知识点诠释： 若，则动点的轨迹为线段； 若，则动点的轨迹无图形． 知识点二：椭圆的标准方程 标准方程的推导： 由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程． 如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤． （1）建系设点 建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的． 以两定点、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系（如图）． 设（），为椭圆上任意一点，则有． （2）点的集合 由定义不难得出椭圆集合为： ． （3）代数方程 ， 即：. （4）化简方程 由可得，则得方程 关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略． 因此，方程即为所求椭圆的标准方程．它表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是．这里． 椭圆的标准方程： （1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； （2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 知识点诠释： （1）这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； （2）在椭圆的两种标准方程中，都有和； （3）椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； （4）在两种标准方程中，因为，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 知识点三：求椭圆的标准方程 求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法： （1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”．②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：（且）． （2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”．利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题． 【典型例题】 题型一：椭圆的定义与标准方程 例1．（2023·宁夏银川·高二校考阶段练习）已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过，，三点，求椭圆E的标准方程． 例2．（2023·山东青岛·高二青岛二中校考期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程是 ． 例3．（2023·浙江杭州·高二校考期中）已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程为 ． 变式1．（2023·北京·高二日坛中学校考期中）椭圆上一点到两个焦点的距离之和等于，则的标准方程为 . 变式2．（2023·高二课时练习）两个焦点的坐标分别是，，椭圆上一点到两焦点的距离的和等于10的椭圆标准方程为 . 变式3．（2023·高二课时练习）已知椭圆的焦点在坐标轴上，且经过和两点，则椭圆的标准方程为 . 【方法技巧与总结】 （1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程. 注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为. ②与椭圆共焦点的椭圆可设为. ③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）. 题型二：椭圆方程的充要条件 例4．（2023·高二课时练习）以下方程表示椭圆的是（    ） A． B． C． D． 例5．（2023·广东·高二统考阶段练习）设，方程所表示的曲线是（    ） A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线 例6．（2023·江苏·高二专题练习）曲线与的关系是（    ） A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有不等的焦距，相同的焦点 C．有不等的焦距，不同的焦点 D．有相等的焦距，不同的焦点 变式4．（2023·江苏·高二专题练习）已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式5．（2023·