3.1.2 椭圆的简单几何性质（十大题型）-2023-2024学年高二数学新教材同步配套培优讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

3．1．2 椭圆的简单几何性质 【题型归纳目录】 题型一：椭圆的几何性质 题型二：根据椭圆的有界性求范围或最值 题型三：求离心率的值 题型四：求离心率的范围 题型五：点与椭圆的位置关系 题型六：直线与椭圆的位置关系 题型七：弦长问题 题型八：中点弦问题 题型九：椭圆的实际应用 题型十：定点定值问题 【知识点梳理】 知识点一：椭圆的简单几何性质 我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质 椭圆的范围 椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，． 椭圆的对称性 对于椭圆标准方程，把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心． 椭圆的顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点． ②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，． ③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，，．和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长． 椭圆的离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作． ②因为，所以的取值范围是．越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为． 知识点诠释： 椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1），，； （2），，； （3），，； 知识点二：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 可借助下图帮助记忆： a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边． 和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角（）结合起来，建立、之间的关系． 知识点三：椭圆两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长=，短轴长= 离心率 知识点诠释：椭圆，的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有和，；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同； 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上． 知识点四：直线与椭圆的位置关系 平面内点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点， 若点在椭圆上，则有； 若点在椭圆内，则有； 若点在椭圆外，则有． 直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 直线与椭圆的相交弦 设直线交椭圆于点，两点，则 同理可得 这里，的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 知识点五：解决椭圆中点弦问题的两种方法： 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线（不平行于轴）过椭圆（）上两点、，其中中点为，则有． 【典型例题】 题型一：椭圆的几何性质 例1．（多选题）（2023·全国·高二专题练习）对于椭圆，下面说法正确的是（    ） A．长轴长为2 B．短轴长为3 C．离心率为 D．焦距为2 例2．（多选题）（2023·全国·高二专题练习）关于椭圆有以下结论，其中正确的有（    ） A．离心率为 B．长轴长是 C．焦距2 D．焦点坐标为 例3．（多选题）（2023·黑龙江大庆·高二肇州县第二中学校考开学考试）已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆E上，则（    ） A．点在x轴上 B．椭圆E的长轴长为4 C．椭圆E的离心率为 D．使得为直角三角形的点P恰有6个 变式1．（多选题）（2023·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（    ） A．m的取值范围为 B．若该椭圆的焦点在y轴上，则 C．若，则该椭圆的焦距为4 D．若，则该椭圆经过点 变式2．（多选题）（2023·广西