第二章 2.2.1　不等式及其性质-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

2.2　不等式 2．2.1　不等式及其性质 [课标解读]1.不等式的概念.2.实数大小的比较.3.不等式(组)的解法.4.不等式的性质． 知识点一　不等式的定义 我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式． 知识点二　实数大小比较 符号表示 a－b>0⇔a>b， a－b＝0⇔a＝b， a－b<0⇔a<b. 比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等． 知识点三　不等式的性质 性质1(可加性)　如果a>b，那么a＋c>b＋c. 性质2(可乘性)　如果a>b，c>0，那么ac>bc. 性质3(可乘性)　如果a>b，c<0，那么ac<bc. 性质4(传递性)　如果a>b，b>c，那么a>c. 如果性质4中的不等式带有等号，那么结论是否仍然成立？ (1)如果性质4中的两个不等式只有一个带有等号，那么等号是传递不过去的．例如：如果a≥b且b>c，那么a>c；如果a>b且b≥c，那么a>c. (2)如果两个不等式都带有等号，那么有若a≥b且b≥c，则a≥c，其中a＝c时必有a＝b且b＝c. 推论1(移项法则)　如果a＋b>c，那么a>c－b. 不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边． 推论2(同向可加性)　如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. 我们把a>b和c>d(或a<b和c<d)这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式． (1)推论2可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．推论2是同向不等式相加法则的依据． (2)同向不等式可以相加但不能相减，即由a>b，c>d，可以得到a＋c>b＋d，但不能得到a－c>b－d.需要特别注意的是，由a>b，c<d，不能得到a＋c>b＋d，但可以得到a－c>b－d.这是因为若c<d，则－c>－d，又a>b，所以a－c>b－d. 推论3(同向同正可乘性)　如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. 推论4(可乘方性)　如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1). 推论5(可开方性)　如果a>b>0，那么>. 理解不等式的性质成立的前提以及是否具有可逆性是掌握性质的关键．例如： (1)推论3不但要求两个不等式同向，而且要求a，b，c，d均大于0，否则结论不一定成立； (2)除了性质1和推论1，其他性质及推论都不可逆． 知识点四　综合法、分析法与反证法 1．综合法 从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法． 2．分析法 从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的充分条件，最后得到题设的已知条件或已被证明的事实，这种证明问题的方法通常称为分析法． 3．反证法 首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．这种得到数学结论的方法通常称为反证法． 综合法与分析法都是直接证明的方法，反证法是一种间接证明的方法． (1)综合法中，最重要的推理形式为p⇒q，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论． (2)分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为p⇐q，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2021·安徽省池州市期末考试)已知P＝a2＋4a＋1，Q＝－b2＋2b－4，则(　　) A．P>Q B．P<Q C．P≥Q D．P≤Q C　[P－Q＝a2＋b2＋4a－2b＋5＝(a＋2)2＋(b－1)2≥0， ∴P－Q≥0，即P≥Q，当且仅当a＝－2，b＝1时取等号．故选C.] 2．(多选)(2021·广西壮族自治区钦州市期中考试)对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是(　　) A．若ac2>bc2，则a>b B．若a>b，c>d，则a＋c>b＋d C．若a>b，c>d，则ac>bd D．若a>b，则> AB　[若ac2>bc2，则a>b，A对， 由不等式同向可加性，若a>b，c>d，则a＋c>b＋d，B对， 令a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝bd，C错， 令a＝－1，b＝－2，则<，D错．故选AB.] 3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是(　　) A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1 C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1 A