第一章 1.2.1　命题与量词-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

1.2　常用逻辑用语 1．2.1　命题与量词 [课标解读]1.命题的概念及命题的形式.2.全称量词与存在量词的意义.3.全称量词命题与存在量词命题的真假判断． 知识点一　命题的概念 一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述语句称为命题．其中，判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题． 一个命题，一般可以用一个小写英文字母表示，如p，q，r，…. (1)有一类陈述句在数学或其他科学技术中经常出现，但目前不能确定这些语句的真假，随着时间的推移，总能确定它们的真假，这一类语句仍然是命题． (2)命题的真假是确定的，一个命题要么为真，要么为假，不能无法判断． (3)数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题． (4)数学中要判定一个命题为真命题，需要经过严格的数学证明；要判定一个命题为假命题，只需要举出一个反例即可． 知识点二　全称量词和全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可简记为“∀x∈M，p(x)” 知识点三　存在量词和存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”，可用符号记为“∃x∈M，p(x)” 全称量词命题与存在量词命题的区别 (1)全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”． (2)存在量词命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”． 1．下列语句中，是命题的个数是(　　) ①垂直于同一条直线的两条直线平行吗？ ②x，y都是无理数，则x＋y是无理数； ③请完成第九题； ④正方形既是矩形又是菱形． A．1 B．2 C．3 D．4 B　[①不是命题，因为它不是陈述句； ②是命题，是假命题，例如－＋＝0，不是无理数； ③不是命题，因为它不是陈述句； ④是命题，是真命题． 故选B.] 2．(2021·新疆维吾尔自治区单元测试)下列命题中全称量词命题的个数是(　　) ①任意一个自然数都是正整数； ②有的平行四边形也是菱形； ③n边形的内角和是(n－2)×180°. A．0 B．1 C．2 D．3 C　[由题意得，①③是全称量词命题，②是存在量词命题，故选C.] 3．(2021·全国单元测试)下列命题是存在量词命题的是(　　) ①有的数比它的倒数小；②平行四边形的对边相等；③存在有理数x，使x2－2＝0；④正方形都是平行四边形． A．①③ B．②④ C．①② D．③④ A　[①中含有存在量词“有的”；②中隐含全称量词“所有”；③中含有存在量词“存在”；④中隐含全称量词“所有”．故①③是存在量词命题．故选A.] 4．(多选)(2021·江苏省镇江市月考试卷)下列命题为真命题的是(　　) A．∃x∈R，x2≤1 B．a2＝b2是a＝b的必要不充分条件 C.集合{(x，y)|y＝x2}与集合{y|y＝x2}表示同一集合 D.设全集为R，若A⊆B，则∁RB⊆∁RA ABD　[对于A，当x＝0时，x2≤1，故A是真命题； 对于B，当a2＝b2时，则a＝±b，当a＝b时，则a2＝b2， 则a2＝b2是a＝b的必要不充分条件，故B是真命题； 对于C，集合{(x，y)∣y＝x2}与集合{y|y＝x2}不表示同一集合，前者为点集，后者为数集，故C是假命题； 对于D，若A⊆B，则A中元素都在B中，不在B中的元素一定不在A中， 故x∈∁RB，则x∈∁RA，即∁RB⊆∁RA，故D是真命题．故选ABD.] 5．给出下列四个命题： ①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③对任意x∈R，x2－2x＞0；④有一个素数含有三个正因数． 以上命题的否定为真命题的序号是________． 解析：　写出命题的否定，易知③④的否定为真命题，或者根据命题①②是真命题，③④为假命题，再根据命题与它的否定一真一假，可得③④的否定为真命题． 答案：　③④ 题型一　命题真假的判断 判断下列语句是不是命题，如果是，说明其真假． (1)奇数不能被2整除； (2)实数的平方是正数； (3)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1； (4)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2. 点拨：　数学中要判定一个命题为真命题，需要经过严格的数学证明；要判定一个命题为假命题，只需举出一个反例即可． 解析：　(1)(2)(3)(4)都是陈述句，且能判断真假，因此都是命题． (1)是真命题．因为奇数是不能被2整除的整数． (2)是假命题．反例：0的平方还是0，不是