第一章 1.1.2　集合的基本关系 -【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

1.1.2　集合的基本关系 [课标解读]1.子集、真子集的概念.2.集合之间包含与相等的含义.3.会判断两个集合间的关系.4.能用数学符号和维恩图表示两个集合间的关系． 知识点一　子集的概念 概念 一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”). 图示 性质 ①任意集合A都是它自身的子集，即A⊆A. ②空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A. ③传递性：对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C. (1)“A是B的子集”的含义：集合A的任意一个元素都是集合B的元素，即由任意的x∈A，都能推出x∈B.　 (2)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么A不包含于B，或B不包含A，分别记作AB或B⊉A. (3)若A⊆B，则A有以下三种情况： ①A是空集； ②A是由B的部分元素构成的集合； ③A是由B的全部元素构成的集合． 故不能简单地认为“若A⊆B，则A是由B的部分元素构成的集合”． 知识点二　真子集 概念 一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”). 图示 性质 ①任意集合A都不是它自身的真子集． ②空集是任意一个非空集合A的真子集，即∅A. ③传递性：对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；对于集合A，B，C，如果AB，BC，则AC. (1)真子集的概念也可以叙述为：若集合A⊆B，存在元素x满足x∈B且x∉A，则称集合A是集合B的真子集． (2)集合A是集合B的真子集，需要满足以下两个条件：①集合A是集合B的子集；②存在元素x满足x∈B，且x∉A.所以，如果集合A是集合B的真子集，那么集合A一定是集合B的子集，反之不成立． (3)空集是任意非空集合的真子集，这里强调的是“非空”两字，解题时不能丢掉空集这一特例． (4)任意集合都一定有子集，但是不一定有真子集．空集没有真子集．一个集合的真子集的个数比子集的个数少1. 知识点三　集合的相等与子集的关系 1．集合相等的定义 给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A＝B. 由集合相等以及子集的定义可知： (1)如果A⊆B且B⊆A，则A＝B； (2)如果A＝B，则A⊆B且B⊆A； (3)A＝B且B＝C，则A＝C. 2．两集合间的关系 两个集合A，B之间的关系如下： (1)A⊆B⇒ (2)AB. (1)注意符号“⊆”与“”的区别．A⊆B⇒A＝B或AB.若A⊆B和AB同时成立，则AB更能准确地表示集合A，B之间的关系． 例如，若集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，则集合A是集合B的子集，也是集合B的真子集，用A⊆B与AB均可，但用AB更准确． (2)若A⊆B和A＝B同时成立，则A＝B更能准确地表示出集合A，B之间的关系． 1．(2021·辽宁省其他类型)下列各式中，正确的个数是(　　) ①{0}∈{0，1，2}；②{0，1，2}⊆{2，1，0}；③∅⊆{0，1，2}；④∅＝{0}；⑤{0，1}＝{(0，1)}；⑥0＝{0}． A．1 B．2 C．3 D．4 B　[对①，集合与集合之间不能用∈符号，故①不正确； 对②，任何集合都是本身的子集，故②正确； 对③，空集是任何集合的子集，故③正确； 对④，空集是不含任何元素的集合，而{0}是含有1个元素的集合，故④不正确； 对⑤，集合{0，1}是数集，含有2个元素，集合{(0，1)}是点集，只含1个元素，故⑤不正确； 对⑥，元素与集合只能用∈或∉符号，故⑥不正确． 所以正确的个数有2个．故选B.] 2．(2021·浙江省金华市单元测试)设集合A＝{m，n}，则集合A的子集个数为(　　) A．1 B．2 C．4 D．6 C　[集合A＝{m，n}，则其子集有22＝4个．故答案选：C.] 3．(多选)(2021·江西省单元测试)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有(　　) A．∅⊆A B．－2∈A C．{0，2}⊆A D．A⊆{y|y<3} ACD　[由已知，A＝{0，2}， A选项，∅是任何集合的子集，故A正确； B选项，－2∉A，故B错误； C选项，任何集合都是它本身的子集，故C正确； D选项，{0，2}⊆{y|y<3}，故D正确；故选ACD.] 4.已知集合U，S，T，F的关系如图所示，则下列结论中正确的是________(填序号). ①S⊆U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊇F；⑤S⊆F；⑥F⊆U. 解析：　由图可得出集合之间的关系． 答案：　①③⑥ 5．(2021