第一章 1.1.1　集合及其表示方法 -【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

1．1　集合 1．1.1　集合及其表示方法 [课标解读]1.集合的含义.2.元素与集合的关系.3.集合中元素的特性.4.集合的表示方法.5.区间的表示． 知识点一　集合与元素的相关概念 1．集合的概念 在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类．把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)，组成集合的每个对象都是这个集合的元素． 集合通常用英文大写字母A，B，C，…表示，集合的元素通常用英文小写字母a，b，c，…表示． 集合的三个特性 (1)描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样，都只是描述性的说明． (2)整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体． (3)广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等． 2．元素与集合的关系 关系 语言表达 符合 读法 属于 a是集合A的元素 a∈A a属于A 不属于 a不是集合A的元素 a∉A a不属于A (1)a∈A与a∉A取决于a是不是集合A的元素．元素a与集合A的关系在a∈A与a∉A这两种情况中必有一种且只有一种成立． (2)符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系． 3．集合的分类 (1)一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作∅. (2)集合可以根据它含有的元素的个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集． 4．集合相等 给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A＝B. 知识点二　集合中元素的三个特性 特性 含义 示例 确定性 集合的元素必须是确定的．这就是说，不能确定的对象不能组成集合，即给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素，应该可以明确地判断出来． 集合A＝{1，2，3}，则1∈A，4∉A. 互异性 对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．这就是说，集合中的任意两个元素必须都是不同的对象，相同的对象归入同一集合时只能算作集合中的一个元素． 集合{x，x2－x}中的x应满足x≠x2－x，即x≠0且x≠2. 无序性 集合中的元素可以任意排列． 集合{1，0}和集合{0，1}是同一个集合． 元素特性的主要作用 (1)确定性的主要作用是判断一组对象能否组成集合，只有这组对象具有确定性时才能组成集合． (2)无序性的主要作用是方便定义集合相等．当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相等． (3)互异性的主要作用是警示我们做题后要检验．特别是题中含有参数(字母)时，一定要检验求出的参数是否使集合的元素满足互异性． 知识点三　几种常见的数集及其记法 集合 意义 记法 自然数集 所有非负整数组成的集合． N 正整数集 在自然数集N中，去掉元素0之后的集合． N＋或N* 整数集 所有整数组成的集合． Z 有理数集 所有有理数组成的集合． Q 实数集 所有实数组成的集合． R 常用数集之间的关系 知识点四　集合表示 1．自然语言 用文字叙述的形式描述集合的方法．使用此方法应注意叙述清楚，如由所有正方形组成的集合，就是用自然语言表示的，不能叙述成“正方形”；再如由全体实数组成的集合，或实数集等． 2．列举法 把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，以此来表示集合的方法称为列举法． 列举法表示集合时的4个关注点 (1)元素与元素之间必须用“，”隔开； (2)列举法表示集合，要分清是数集还是点集； (3)列元素时要做到不重复，不遗漏； (4)集合中的元素可以是任何事物． 3．描述法 一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质P(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质P(x)称为集合A的一个特征性质，此时，集合A可以用它的特征性质P(x)表示为{x|P(x)}，这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法． 描述法表示集合时的3个关注点 (1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等； (2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等； (3)不能出现未被说明的字母． 知识点五　区间及其表示 1．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b.我们作出规定： 定义 名称 符号 几何表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] 这里的实数a