第三章 3．2　函数与方程、不等式之间的关系-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

3.2　函数与方程、不等式之间的关系 第1课时　1　函数的零点 2　二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 [课标解读]1.函数的零点.2.二次函数的零点.3.一元二次不等式的解法.4.一元二次方程根的分布． 知识点一　函数的零点 1．函数零点的概念 一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点． 2．函数零点的意义 不难看出，α是函数f(x)零点的充分必要条件是，(α，0)是函数图像与x轴的公共点．因此，由函数的图像可以方便地看出函数值等于0的方程的解集，以及函数值与0比较相对大小的不等式的解集．因此我们有： 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (1)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，也就是函数y1＝f(x)与y2＝g(x)的图像交点的横坐标． (2)如果方程f(x)＝0有两个相等的实数根x，那么x称为函数y＝f(x)的二阶零点(二重零点).如x＝2就是函数f(x)＝(x－2)2的二阶零点． 知识点二　一元二次不等式与对应函数、方程 三个“二次”之间的关系 从函数观点来看，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在x轴上方的图像上的点的横坐标的集合；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在x轴下方的图像上的点的横坐标的集合．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交点的横坐标的集合，也就是二次函数的零点构成的集合． 从方程观点来看，一元二次方程的根是二次函数的图像与x轴交点的横坐标，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，就是大于大根或者小于小根的实数x的集合；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是大于小根且小于大根的实数x的集合．简记为“大于取两边，小于取中间”． 因此，利用二次函数的图像和一元二次方程根的情况就可以解一元二次不等式．具体如下表所示： Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根(x1＜x2) 有两个相等的实数根(x1＝x2＝－) 无实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} R ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ (1)图表具体表明了一元二次不等式的解集与对应的二次函数图像、一元二次方程的亲密关系，此图表是解一元二次不等式的依据之一． (2)x1，x2具有三重身份：对应的一元二次方程的实根；对应的二次函数的零点；对应的一元二次不等式解集区间的端点． 1．(2021·广东省期末考试)函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的零点为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．1 B．2 C．(0，1) D．(2，0) B　[∵函数图像与x轴的交点为(2，0)， ∴函数f(x)的零点为2，故选B.] 2．函数f(x)＝x3－9的零点所在的区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) C　[因为函数在f(x)＝x3－9在x∈R上连续且单调递增， f(2)＝8－9＝－1<0，f(3)＝27－9＝18>0， 所以f(2)f(3)<0， 所以函数f(x)＝x3－9的零点所在的区间是(2，3)，故选C．] 3．(多选)对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内(　　) A．一定有零点 B．一定没有零点 C．可能有一个零点 D．可能有两个零点 CD　[由题意知：函数f(x)在区间(a，b)可能没有零点， 也可能有一个不变号零点或者两个变号零点，故选CD.] 4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________． 解析：　由表格可知，函数的零点为x1＝－2，x2＝3，且函数的图像关于直线x＝对称，开口向上，因此不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞). 答案：　(－∞，－2)∪(3，＋∞) 5．不等式－2x2＋5x－2＞0的解集为________． 解