第三章 3.1.3　函数的奇偶性-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

3.1.3　函数的奇偶性 [课标解读]1.奇、偶函数的概念.2.奇偶性的几何意义.3.奇、偶函数的应用． 知识点一　函数的奇偶性 1．奇、偶函数的定义 偶函数 奇函数 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 结论 则称y＝f(x)为偶函数 则称y＝f(x)为奇函数 定义域特征 定义域关于原点对称 等价形式 若f(x)≠0，则＝－1⇔f(x)为奇函数，＝1⇔f(x)为偶函数 说明：　若一个函数是偶函数或奇函数，则称这个函数具有奇偶性；若一个函数既不是奇函数又不是偶函数，则称为非奇非偶函数． 利用定义法判断函数奇偶性的步骤 (1)一看定义域．定义域D要具有对称性，即对∀x∈D，－x∈D，也就是说奇、偶函数的定义域要关于原点对称，定义域不关于原点对称时，f(x)是非奇非偶函数． (2)二看等式．当f(x)的定义域关于原点对称时，要看f(x)与f(－x)的关系： ①f(－x)＝f(x)⇔f(x)是偶函数； ②f(－x)＝－f(x)⇔f(x)是奇函数； ③f(－x)≠±f(x)⇔f(x)是非奇非偶函数； ④f(－x)＝±f(x)⇔f(x)既是奇函数又是偶函数，这样的函数只有一类，即f(x)＝0，x∈D，且D关于原点对称． 知识点二　奇、偶函数的图像特征(几何意义) 1．奇函数的图像特征(几何意义) 奇函数的图像关于原点对称；反之，结论也成立，即图像关于原点对称的函数一定是奇函数． 2．偶函数的图像特征(几何意义) 偶函数的图像关于y轴对称；反之，结论也成立，即图像关于y轴对称的函数一定是偶函数． (1)若f(x)是奇函数，点(x，f(x))在其图像上，则点(－x，f(－x))，即点(－x，－f(x))也在其图像上． (2)若f(x)是偶函数，点(x，f(x))在其图像上，则点(－x，f(－x))，即点(－x，f(x))也在其图像上． 1．(多选)下列函数是偶函数的是(　　) A．y＝2x2－3 B．y＝x3 C．y＝|| D．y＝x AC　[对于A，f(－x)＝2(－x)2－3＝2x2－3＝f(x)， ∴f(x)是偶函数，B，D都为奇函数，C中定义域x≠0，f(－x)＝＝＝f(x)，∴f(x)是偶函数，故选A，C.] 2．函数f(x)＝－x的图像(　　) A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称 C　[∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－(－x)＝x－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图像关于原点对称．] 3．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为(　　) A．－2 B．2 C．0 D．不能确定 B　[因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.] 4．下列图像表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号) 　 解析：　(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数． 答案：　(2)(4)　(1)(3) 5．给出下列结论： ①若f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)是偶函数； ②若f(x)是偶函数，则它的定义域关于原点对称； ③若f(－2)＝f(2)，则f(x)(x∈R)是偶函数； ④若f(x)(x∈R)是偶函数，则f(－2)＝f(2)； ⑤若f(2)≠f(－2)，则f(x)(x∈R)不是偶函数； ⑥既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)； ⑦若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0. 其中正确的结论是________(填序号). 解析：　只有f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝f(x)时，f(x)才是偶函数，故①错误； f(x)的定义域关于原点对称是f(x)为偶函数的必要条件，故②正确； 对任意x∈R，满足f(－x)＝f(x)，f(x)才是偶函数，仅凭两个特殊的函数值相等不足以判断函数的奇偶性，故③错误而④正确； 为了说明f(x)不是偶函数，举一个反例即可，故⑤正确； f(x)＝0，定义域为[－1，1]，该函数既是奇函数又是偶函数，故⑥错误； 由于f(x)是奇函数，且定义域为R，所以∀x∈R，f(－x)＝－f(x)，令x＝0，则f(0)＝－f(0)，即f(0)＝0，故⑦正确． 答案：　②④⑤⑦ 题型一　函数奇偶性的判断 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝； (2)f(x)＝2－|x|； (3)f(x)＝＋； (4)f(x)＝. 点拨：　判断函数的奇偶性时，应先求函数的定义域，若定义域关于坐标原点不对称，则可直接判定此函数既不是奇函数也不是偶函数；若定义域