第二章 2.2.4　均值不等式及其应用-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

2.2.4　均值不等式及其应用 [课标解读]1.数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式.2.均值不等式.3.均值不等式的应用． 知识点一　均值不等式 1．算术平均值与几何平均值 给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数称为a，b的几何平均值． 多个正数的算术平均值和几何平均值可以类似地定义，例如a，b，c的算术平均值为，几何平均值为. 2．均值不等式 如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立． 均值不等式也称为基本不等式，其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值． (1)“当且仅当”的含义：当a＝b且仅当a＝b时，不等式≥能取到等号，即＝. (2)均值不等式可变形为a＋b≥2，ab≤. 知识点二　均值不等式与最大(小)值 已知x，y都是正数． (1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 可以表述为： 两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值． 可简记为“两正数积定和最小，和定积最大”． 利用均值不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正、二定、三相等”．具体理解如下： (1)“一正”，即所求最值的各项必须都是正值，否则就容易得出错误的答案． (2)“二定”，即含变量的各项的和或者积必须是常数，即要求a＋b的最小值，ab必须是定值；求ab的最大值，a＋b必须是定值． (3)“三相等”，即必须具备不等式中等号成立的条件，才能求得最大值或最小值． 1．给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件有(　　) A．1个　　　　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 C　[当，均为正数时，＋≥2，故只须a、b同号即可，∴①③④均可以．] 2．已知函数y＝x＋，函数y的最小值等于(　　) A． B．4＋1 C．5 D．9 C　[∵x>1，∴x－1>0，∴y＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝5， 仅当x－1＝，即x＝3时取等号， ∴y＝x＋(x>1)的最小值为5. 故选C.] 3．已知t>0，则y＝的最小值为(　　) A．－1 B．－2 C．2 D．－5 B　[依题意得y＝t＋－4≥2－4＝－2，等号成立时t＝1，即函数y＝(t>0)的最小值是－2.] 4．已知x，y都是正数． (1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________； (2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________． 解析：　(1)x＋y≥2＝2，即x＋y的最小值是2；当且仅当x＝y＝时取最小值． (2)xy≤＝＝， 即xy的最大值是. 当且仅当x＝y＝时，xy取最大值． 答案：　(1)2　(2) 5．(2021·辽宁省其他类型)若a>0，b>0，3a＋2b＝1，则ab的最大值是__________． 解析：　a>0，b>0，3a＋2b＝1， 所以1＝3a＋2b≥2，当且仅当a＝，b＝时，取等号， 所以ab≤， 所以ab的最大值是， 故答案为：. 答案：　 第1课时　均值不等式 题型一　对均值不等式的理解 (1)下列不等式中，不正确的是(　　) A．a2＋b2≥2|a||b| B．≥2a－b(b≠0) C．≥－1(b≠0) D．2(a2＋b2)≥(a＋b)2 (2)给出下列命题： ①若x∈R，则x＋≥2； ②若a<0，b<0，则ab＋≥2； ③不等式＋≥2成立的条件是x>0且y>0.其中正确命题的序号是________． 点拨：　(1)举反例、基本不等式⇒逐个判断． (2)明确基本不等式成立的条件⇒逐个判断． 解析：　(1)A中，a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|，所以A正确． B中，由a2＋b2≥2ab，得a2≥2ab－b2.当b<0时，≤2a－b，所以B不正确． C中，b≠0，则≥－1，所以C正确． D中，由a2＋b2≥2ab，得2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，所以D正确． (2)只有当x>0时，才能由基本不等式得到x＋≥2 ＝2，故①错误； 当a<0，b<0时，ab>0，由基本不等式可得 ab＋≥2 ＝2，故②正确； 由基本不等式可知，当>0，>0时，有＋≥2 ＝2成立，这时只需x与y同号即可，故③错误． 答案：　(1)B　(2)② 均值不等式的两个关注点 (1)一正数：指式子中的a，b均为正数． (2)二相等：即“＝”成立的条件．　　 即时练1.(2021·陕西省西安市月考试卷)若0<a<b，则下列不等式成立的是(　　) A．<<a<b B．a<<<b C．<a<<b D．a<<<b B　[因为b>a>0， 所以b>，>a， 又因为>， 所以b>>>a， 即