第二章 2.2.3　一元二次不等式的解法-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

2.2.3　一元二次不等式的解法 [课标解读]1.一元二次不等式的概念.2.一元二次不等式的解法． 知识点一　一元二次不等式的概念 一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等． 一元二次不等式的二次项系数a有a>0和a<0两种，注意a≠0.当a<0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式． 知识点二　一元二次不等式的解法 1．用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果x1<x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞). (1)这种方法只有在一元二次不等式左边能够因式分解(一般用十字相乘法)时才能使用，简记为“小于零取中间，大于零取两边”． (2)因式分解法就是将一元二次不等式转化为两个一元一次不等式组来求解． 依据是：ab>0当且仅当或； ab<0当且仅当或 2．用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到不等式的解集． (1)因式分解法只适用于特殊类型的一元二次不等式，一般的一元二次不等式可以通过配方法求得解集． (2)用配方法解一元二次不等式的关键是熟练掌握二次三项式的配方技巧． 知识点三　简单分式不等式的解法 分式不等式的概念 分母中含有未知数的不等式称为分式不等式． 当分式不等式等价转化为整式不等式时，其分母不为零最容易被忽略，这一点一定要注意． 1．(多选)下列不等式中是一元二次不等式的是(　　) A．a2x2＋2≥0(a≠0)　　　 B．<3 C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1>0 AC　[选项A中，a2≠0符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；选项C符合．] 2．(2021·全国同步练习)不等式x2－2x－5>2x的解集是(　　) A．{x|x≥5或x≤－1} B．{x|x>5或x<－1} C．{x|－1<x<5} D．{x|－1≤x≤5} B　[原不等式等价于：x2－4x－5>0， 即(x＋1)(x－5)>0， 解得x<－1或x>5. 故原不等式解集为{x|x>5或x<－1}，故选B.] 3．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240)，每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(　　) A．100台 B．120台 C．150台 D．180台 C　[y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0， 即x2＋50x－30 000≥0， 解得x≥150或x≤－200(舍去).] 4．(2021·湖北省武汉市期末考试)不等式x2－2x－3<0的解集是__________． 解析：　x2－2x－3＝0的两个根分别为－1，3， ∴不等式x2－2x－3<0的解集为(－1，3). 故答案为(－1，3). 答案：　(－1，3) 5．不等式≥0的解集是__________． 解析：　因为不等式≥0可转化为 解得：－≤x<， 所以原不等式的解集为： ， 故答案为： . 答案：　 题型一　解不含参数的一元二次不等式 求下列不等式的解集： (1)2x2＋5x－3<0；　(2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2－4x＋1>0；　(4)－x2＋6x－10>0. 点拨：　利用因式分解法或配方法求解． 解析：　(1)原不等式可化为(2x－1)(x＋3)<0， ∴原不等式的解集为. (2)原不等式可化为3x2－6x＋2≥0. 配方得3(x－1)2－1≥0，即(x－1)2≥. 两边开平方得，|x－1|≥. ∴x－1≤－或x－1≥，∴x≤1－或x≥1＋. ∴原不等式的解集为. (3)原不等式可化为(2x－1)2>0， ∴原不等式的解集为. (4)原不等式可化为x2－6x＋10<0， 配方得(x－3)2<－1.∵(x－3)2≥0， ∴原不等式的解集为∅. 我们以求解可化成ax2＋bx＋c>0(a>0)形式的不等式为例，用框图表示其求解过程： 　　 即时练1.(2021·西藏自治区林芝地区期末考试)解下列不等式： (1)x2＋x－12≤0； (2)－4x2＋4x－1<0； (3)5x2－7x＋3≤0. 解析：　(1)解方程x2＋x－12＝0， 其中a＝1，b＝1，c＝－12， Δ＝b2－4ac＝1－4×1×(－12)＝49， ∴x1＝＝3，x2＝＝－4， ∴