3.1.2椭圆的几何性质（5）（直线与椭圆中的位置关系2） 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.2椭圆的几何性质（5） 直线与椭圆中的位置关系2 自我塑造的过程很疼 但最终你能收获一个 更好的自己！ 温故知新 温故知新 典型例题 探究　中点弦问题 例1　已知P(1,1)为椭圆 内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为____________. x＋2y－3＝0 方法一　易知此弦所在直线的斜率存在， ∴设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2). 消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0， 又∵x1＋x2＝2， 即x＋2y－3＝0. 设而不求韦达法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造 方法二　易知此弦所在直线的斜率存在， ∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ①－②得 ① ② 点 作差 设而不求点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率． ∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， 即x＋2y－3＝0. 设而不求点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率． 1.设A(x1,y1),B(x2,y2)为椭圆 + =1(a>b>0)上两点,弦AB的中点为P(x0,y0), y0≠0,则x0= ,y0= ,可通过根与系数的关系来解决弦中点问题, 这其中的解题方法就是常说的“设而不求,整体代入”;也可以由  用①-②将问题转化为斜率与中点坐标的关系来解决(称为 点差法). 方法归纳 [学审题] 例2已知O为坐标原点，椭圆T： 的右焦点为F，过点F的直线交椭圆T于A，B两点， 解析：易知直线AB的斜率存在且不为零， 设直线AB的方程为x＝my＋1， 代入椭圆T的方程得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0， 所以y1＝－2y2， 韦达定理2个方程 向量坐标化1个方程 解方程 ２、弦长公式： 设直线 l与椭圆C 相交于A( x1 ，y1) ，B( x2，y2 )， 则 |AB|＝　 , 其中 k 是直线的斜率 １、判断直线与椭圆位置关系的方法： 解方程组消去其中一元得一元二次型方程 △< 0 相离 △= 0 相切 △> 0 相交 ３、处理弦中点问题：“点差法”、“韦达定理” 课堂小结 升华素养 4.弦中点问题 AB是椭圆的弦,其中点P(x0,y0)(y0≠0). 若椭圆方程为 + =1(a>b>0),则kAB=- . 若椭圆方程为 + =1(a>b>0),则kAB=- . 课后作业 2. 《校本学材》 3.1.2 （二） 1. 教材116页 习题3.1 T11，T12，T13 2．弦长公式 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2| ＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2) ＝ eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2| ＝eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(y1＋y22－4y1y2). 设而不求“点差法” 处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下： 练习1已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的 离心率为eq \f(1,2)，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点， ❶ 点C在E上，且△ABC面积的最大值为2eq \r(3). eq \o(,,\s\do4(　　　　　　　　　❷)) (1)求椭圆E的方程； (2)设F为E的左焦点，点D在直线x＝－4上，过F作DF的 垂线交椭圆E于M，N两点．证明：直线OD平分线段MN . eq \o(,,\s\do4(　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　❸)) ①可知eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)； ②C点在何处时，△ABC的面积最大？由于A，B是 椭圆的左、右顶点，故可确定点C为椭圆的短轴顶点； [学审题]③看到OD平分线段MN想到中点弦问题想到OD和MN的中点与O的连线斜率相等． 解：(1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(e＝\f(c,a)＝\f(1,2)，,ab＝2\r(3)，,a2＝b2＋c2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\r(3