3.1.2椭圆的几何性质（4）（直线与椭圆中的位置关系1） 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.2椭圆的几何性质（4） 直线与椭圆中的位置关系1 典型例题 由△>0,得-25<m<25.此时方程①有两个不相等的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点. 由△=0,得m1=25,m2=-25.此时方程①有两个相等的实数根，直线l与椭圆C有且只有一个公共点. 由△<0,得m<-25,或m>25.此时方程①没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点. 课本第114页练习第1题 总结结论 总结结论 课本第114页练习第2题 解： x F1 F2 M O y A B . . 例2. 解2： x F1 F2 M O y A B . . 例2. 即 解： x F1 F2 M O y A B . . P Q 设P(x1,y1), Q(x2,y2), 则 又 F1(－c , 0)到直线PQ: 的距离为 x F1 F2 M O y A B . . P Q 即 即 解得 解2： x F1 F2 M O y A B . . P Q 即 解得 ２、弦长公式： 设直线 l与椭圆C 相交于A( x1 ，y1) ，B( x2，y2 )， 则 |AB|＝　 , 其中 k 是直线的斜率 １、判断直线与椭圆位置关系的方法： 解方程组消去其中一元得一元二次型方程 △< 0 相离 △= 0 相切 △> 0 相交 课堂小结 备选例题 课后作业 2. 《校本学材》 3.1.2 （二） 1. 教材116页 习题3.1 T11，T12，T13 例1：设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为eq \f(\r(3),3)，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为eq \f(4\r(3),3). (1)求椭圆的方程； (2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若eq \o(AC,\s\up17(―→))·eq \o(DB,\s\up17(―→))＋eq \o(AD,\s\up17(―→))·eq \o(CB,\s\up17(―→))＝8，O为坐标原点，求△OCD的面积． 解：(1)因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为eq \f(4\r(3),3)， 所以eq \f(2b2,a)＝eq \f(4\r(3),3). 因为椭圆的离心率为eq \f(\r(3),3)，所以eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)， 又a2＝b2＋c2，可解得b＝eq \r(2)，c＝1，a＝eq \r(3). 所以椭圆的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1. (2)由(1)可知F(－1,0)， 则直线CD的方程为y＝k(x＋1)． 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,\f(x2,3)＋\f(y2,2)＝1，)) 消去y得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0. 设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 所以x1＋x2＝－eq \f(6k2,2＋3k2)，x1x2＝eq \f(3k2－6,2＋3k2). 又A(－eq \r(3)，0)，B(eq \r(3)，0)，所以eq \o(AC,\s\up17(―→))·eq \o(DB,\s\up17(―→))＋eq \o(AD,\s\up17(―→))·eq \o(CB,\s\up17(―→)) ＝(x1＋eq \r(3)，y1)·(eq \r(3)－x2，－y2)＋(x2＋eq \r(3)，y2)·(eq \r(3)－x1，－y1) ＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1) ＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2 ＝6＋eq \f(2k2＋12,2＋3k2)＝8，解得k＝±eq \r(2). 从而x1＋x2＝－eq \f(6×2,2＋3×2)＝－eq \f(3,2)，x1x2＝eq \f(3×2－6,2＋3×2)＝0. 所以|x1－x2|＝eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝ ＝eq \f(3,2)， |CD|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋2)×eq \f(3,2)＝eq \f(3\r(3),2). 而原点O到直线CD的距离为d＝eq \f(|k|,\r(1＋k2))＝eq \f(\r(2),\r(1＋2))＝eq \f(\r(6),3)， 所以△OCD的面积为S＝eq \f(1,2)|CD|×d＝eq \f(1,2)×eq \f(3\r(3),2)×eq \