3.1.2椭圆的几何性质（3）（椭圆中的范围最值问题） 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

椭圆的简单几何性质(3) 椭圆中的范围问题 D 典型例题 求椭圆的离心率的值(或范围) 变式训练1：若将本例中“PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°” 改为“∠PF2F1=75°,∠PF1F2=45°”,求椭圆C的离心率. 解:在△PF1F2,∵∠PF1F2=45°,∠PF2F1=75°, ∴∠F1PF2=60°,设|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,长轴长为2a, 巩固练习 变式训练2：若将本例中“PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°”改为“椭圆C上存在点P,使∠F1PF2为钝角”,求椭圆C的离心率的取值范围. 探究一:求椭圆离心率的值(或范围) P A O C 2(1)已知椭圆的焦距不小于短轴长,求椭圆的离心率的取值范围. (2)如图所示,设直线y=2x与椭圆的一个交点为P, 则点P横坐标为c,连接PF1,PF2,则|PF1|=2c. 因为△PF1F2为直角三角形,|F1F2|=2c, 巩固练习 3.如图，已知F1,F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点M,N.若过点F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为( ). 巩固练习   反思感悟求椭圆离心率及取值范围的两种方法 根据椭圆性质求参数的值(或范围). A 题意：直线l:x+y-6=0到两定点的距离之和最小 备选例题 19 例2 [－b，b] [－a，a] 坐标轴 原点 (0,1) 椭圆的标准方程和几何性质 a2－b2 标准方程 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0) 图形 性 质 范围 　x∈ ， y∈ 　x∈ ， y∈ 对称性 对称轴： ；对称中心： 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 e＝eq \f(c,a)，且e∈ a，b，c的关系 c2＝ [－a，a] [－b，b] 探究(一)　求椭圆离心率的值(或范围) 例1．从椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是 解析：由题意可设P(－c，y0)(c为半焦距)，kOP＝－eq \f(y0,c)，kAB＝－eq \f(b,a)，由于OP∥AB，∴－eq \f(y0,c)＝－eq \f(b,a)，y0＝eq \f(bc,a)，把Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(bc,a)))代入椭圆方程得eq \f(－c2,a2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(bc,a)))2,b2)＝1，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＝eq \f(1,2)，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2). 例2．已知F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是 (　　) A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(\r(2),2))) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) 解析：如图所示， ∵线段PF1的中垂线经过F2， ∴|PF2|＝|F1F2|＝2c， 即椭圆上存在一点P， 使得|PF2|＝2c. ∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝eq \f(c,a)∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)). 答案：C　 ， 例4.若椭圆上存在一点P过以椭圆中心和长轴 一个端点为直径的圆，求椭圆离心率的取值范围. 解：不妨设椭圆方程， 长轴端点， 由题意知,， 即，又， 即 变式.已知是椭圆的两个焦点，满足 的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. (0，1) B. C.