3.1.2椭圆的几何性质（1） 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.2 椭圆的简单几何性质（1） 知识回顾： 椭圆的定义、标准方程是什么？ 平面上到两个定点的距离的和（2a）等于定长（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距（2c）。 标准方程为 其中， 解析几何研究的主要问题是什么？ （1）根据已知条件，求出表示曲线的方程。 （2）通过方程，研究平面曲线的性质。 下面通过椭圆的两种标准方程，研究椭圆的性质 观察椭圆 的形状， 你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？ 椭圆上哪些点比较特殊？ F1 F2 M 0 x y A1 A2 B1 B2 -a≤x≤a, -b≤y≤b ∴椭圆位于直线x=±a,y= ± b所围成的矩形中， 如图所示： o y B2 B1 A1 A2 F1 F2 c a b 二、新课讲解： 1、椭圆 的范围： 由 x 2. 椭圆的对称性 中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 o x y 在 之中，把（ ）换成（ ），方程不变，说明： 椭圆关于（ ）轴对称； 椭圆关于（ ）轴对称； 椭圆关于（ ）点对称； 故，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心 P2(-x，y) P1(x，y) P3(x，-y) P4(-x，-y) 3. 椭圆的顶点 o x y B2 B1 A1 A2 ︱ ︱ F1 F2 *长轴、短轴： 线段A1A2、B1B2分别 叫做椭圆的长轴和短轴。 它们的长分别等于2a和2b 。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 o y B2 B1 A1 A2 F1 F2 c a b (0,b) (0,-b) (a，0) (-a，0) 3、椭圆 的顶点： 令 x=0，得 y=？说明椭圆与 y轴的交点为（ ）， 令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点为（ ）。 0, ±b ±a, 0 *顶点：椭圆与它的对称轴的四个 交点，叫做椭圆的顶点。 特征三角形 4、椭圆的离心率 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率。 [1]离心率的取值范围： 0<e<1 ①e 越接近 1，c 就越接近 a，请问：此时椭圆的变化情况？ [2]e与a,b的关系: 用e表示，即 (e用来刻画椭圆扁平程度的量) ②e 越接近 0，c 就越接近 0，请问：此时椭圆又是如何变化的？ e 越接近 1，c 就越接近 a， b就越小，此时椭圆就越扁 e 越接近 0，c 就越接近 0， b就越大，此时椭圆就越圆 小结一：基本元素 o x y B1(0,b) B2(0,-b) A1 A2 基本量：a、b、c、e、（共四个量） 基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） 基本线：对称轴（共两条线） 请考虑：基本量之间、基本点之间、基本线之间以及它们相互之间的关系（位置、数量之间的关系） 同学们对椭圆性质对比归纳 标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关系 关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称 (a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短半轴长为b. (a>b) (b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称 长半轴长为a,短半轴长为b.(a>b) -a ≤ x≤ a, - b≤ y≤ b -a ≤ y ≤ a, - b≤ x ≤ b a2=b2+c2 a2=b2+c2 例1 、求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形. 解：把已知方程化成标准方程： 因此，椭圆的长轴和短轴长分别为2a=10和2b=8, 两个焦点分别为F1（-3，0）和F2（3，0），四个顶点 分别为A1(-5，0)、A2(5，0)、B1(0，-4)、B2(0，4)。 这里 a=5，b=4，