第42讲 直线与椭圆（精讲）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 第42讲 直线与椭圆（精讲） 题型目录一览 ①点与椭圆的位置关系 ②直线与椭圆的位置关系 ③椭圆的弦长问题、面积问题 ④椭圆的中点弦问题 一、知识点梳理 一、点与椭圆的位置关系 点和椭圆 的关系 二、直线和曲线联立 1.椭圆与直线相交于两点，设， ， 椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：， 注意：①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系． ②韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积问题，三点共线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐标表达，转化为可以使用韦达定理的形式，这也是目前考试最常考的方式． 三、直线与椭圆的位置关系 设直线，椭圆，把二者方程联立得到方程组，消去得到一个关于的方程. 方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点； 方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点； 方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点. 四、根的判别式和韦达定理 与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记． 同理和联立，为了方便叙述，将上式简记为，，可简记． 与C相离；与C相切；与C相交． 注意：（1）由韦达定理写出，，注意隐含条件． （2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意． （3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可． 五、弦长公式 设，根据两点距离公式． 1.若在直线上，代入化简，得； 2.若所在直线方程为，代入化简，得 3.构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角． 注意：（1）上述表达式中，当为，时，； （2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用． （3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为，判别式为，时，，利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率． 六、已知弦的中点，研究的斜率和方程 是椭圆的一条弦，中点，则的斜率为， 运用点差法求的斜率；设，，，都在椭圆上， 所以，两式相减得 所以 即，故 二、题型分类精讲 题型一 点与椭圆的位置关系 策略方法 点与椭圆的位置关系问题的一般思路 点在椭圆外+>1; 点在椭圆内+<1; 点在椭圆上+=1. 【典例1】（单选题）直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型训练】 一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）点与椭圆的位置关系为（    ） A．在椭圆上 B．在椭圆内 C．在椭圆外 D．不能确定 2．（2023·江苏·高二专题练习）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 3．（2023·江苏·高二专题练习）点在椭圆的外部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高三专题练习）若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 5．（2023春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知为椭圆的右焦点，点为C内一点，若在C上存在一点P，使得，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆关于轴､轴均对称，焦点在轴上，且焦距为，若点不在椭圆的外部，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，若椭圆上存在两点、关于直线对称，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二 直线与椭圆的位置关系 策略方法 直线与椭圆位置关系判断的步骤 (1)联立直线方程与椭圆方程． (2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程． (3)当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离． 【典例1】（单选题）已知直线：与椭圆：有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型训练】 一、单选题 1．（2023·四川南充·统考一模）已知直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·新疆昌吉·高二校考开学考试）若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ） A．0个 B．至多有一个 C．1个 D．2个 3．（2023秋·高二课前预习）已知，则直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D