3.1.1椭圆及其标准方程（1） 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.1 椭圆及其标准方程（1） 章引言 用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆． 如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢? 如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线 椭圆 抛物线 双曲线 圆 圆锥曲线 探究1. 圆锥曲线的由来 古希腊人的纯几何方法 代数的方法研究几何图形的性质 几何 代数 性质 方程 由形到数 由数到形 坐 标 法 数形结合 本章我们继续采用坐标法，在研究圆锥曲线几何特征的基础上，建立它们的方程，通过方程研究它们的性质，并解决与圆锥曲线有关的几何问题与实际问题。进一步感受数形结合的思想方法，体会坐标法的魅力与威力。 探究2：画椭圆 问题1：移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？ 笔尖到两定点的距离之和等于绳长. 取一条定长的细绳，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1、F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是什么图形？ （超链接：几何画板演示） 数 学 实 验 1. 椭圆的定义: 文字语言：平面内与两个定点F1 、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。 F1 F2 M 这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。 焦距的一半叫半焦距。 (2)符号语言：椭圆上任一点P满足|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|) 线段F1F2 不存在 探究3： 椭圆的定义: 探究4：椭圆方程的推导 问题：观察椭圆形状,你认为怎样建系才可能使椭圆的方程形式简单？ 1.建系设点. 2.找动点满足的条件. 3.翻译列式. 4.变形化简P106 两次平方 如何建立x轴和y轴（焦点的对称性、使点尽可能多地落轴上） 方程只有一个根式 ：将其独立出来 方程有两个根式：分散，使一边只有一个根式 完成教材P106思考：观察图，你能从中找出表示 的线段吗？ 探究5. a,b,c的几何意义 问题3：观察右图，你能从中找出表示a,c,b的线段吗？ 椭圆的特征三角形 焦点在x轴上： 椭圆的标准方程⑵ ① 椭圆的焦点在y轴 ② 焦点是F1（0，-c）、 F2（0，c） ③ c2= a2 - b2 x M F1 F2 y O 它表示： 探究椭圆的标准方程⑵：完成教材P107思考 O X Y F1 F2 M (-c,0) (c,0) O X Y F1 F2 M (0,-c) (0 , c) 椭圆的标准方程的再认识： （1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1 （2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 （3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。 （4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在 哪一条轴上。 例1:已知椭圆的方程为 ，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若曲线上点P到F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离为______. 基本知识过关 基础过关训练2：椭圆的标准方程 （2） ，焦点在y轴上； （1） ，焦点在x轴上； 例3. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: 变式. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是 (-4，0)、(4，0)，椭圆上一点 P到两焦点距离的和等于10 ； （2）两个焦点的坐标分别是 (0 ， -2)、(0 ， 2)，并且椭圆经过点 解： （1）由已知可设椭圆的标准方程为： 故所求椭圆的标准方程为： （2）两个焦点的坐标分别是 (0 ， -2)、(0 ， 2)，并且椭圆经过点 （2）由已知可设椭圆的标准方程为： 解： 由椭圆的定义知， 故所求椭圆的标准方程为： (还有其他方法吗？) （2）两个焦点的坐标分别是 (0 ， -2)、(0 ， 2)，并且椭圆经过点 方法2： ∴ 可设所求椭圆方程为 ∵ 椭圆经过点 即 即 故所求椭圆的标准方程为： 【注】 （1）求椭圆标准方程需要两个独立条件. （2）求椭圆标准方程的主要方法有：①定义法：用定义寻找a,b,c的方程；②待定系数法：设方程，代入计算出待定字母的值。待定系数法更为常用，是解此类问题的通解通法. 或 焦点在x轴上 焦点在y轴上 椭圆的定义 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点P的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|) 标准方程 焦点坐标